Bài tập nâng cao · Bài 27
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 27
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục và có đạo hàm trên $ \left ( { 0\,;\frac { \pi } { 2 } } \right ) $ , thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )+tanx.f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { cos ^ { 3 } x } $ . Biết rằng $ \sqrt[] { 3 }f\left ( { \frac { \pi } { 3 } } \right )-f\left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right )=a\pi \sqrt[] { 3 }+bln3 $ trong đó $ a,b\in \mathbb{Q} $ . Giá trị của biểu thức $ P=a+b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$ f(x)+\tan x\,f'(x)=\frac{x}{\cos^3x}\Leftrightarrow\cos x\,f(x)+\sin x\,f'(x)=\frac{x}{\cos^2x} $ .
$ \Leftrightarrow[\sin x\,f(x)]'=\frac{x}{\cos^2x} $ .
Do đó $ \int[\sin x\,f(x)]'\,dx=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx\Rightarrow\sin x\,f(x)=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx $ .
Tính $ I=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx $ .
Đặt $ \left\{\begin{array}{l}u=x\\dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}du=dx\\v=\tan x\end{array}\right. $ . Khi đó
$ I=x\tan x-\int\tan x\,dx=x\tan x+\int\frac{d(\cos x)}{\cos x}=x\tan x+\ln|\cos x| $ .
Suy ra $ f(x)=\frac{x\tan x+\ln|\cos x|}{\sin x}=\frac{x}{\cos x}+\frac{\ln|\cos x|}{\sin x} $ .
$ a\pi\sqrt3+b\ln3=\sqrt3f\left(\frac\pi3\right)-f\left(\frac\pi6\right)=\sqrt3\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{2\ln2}{\sqrt3}\right)-\left(\frac{\pi\sqrt3}{9}+2\ln\frac{\sqrt3}{2}\right) $
$ =\frac{5\pi\sqrt3}{9}-\ln3 $ . Suy ra $ \left\{\begin{array}{l}a=\frac59\\b=-1\end{array}\right. $ .
Vậy $ P=a+b=-\frac49 $ .
$ \Leftrightarrow[\sin x\,f(x)]'=\frac{x}{\cos^2x} $ .
Do đó $ \int[\sin x\,f(x)]'\,dx=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx\Rightarrow\sin x\,f(x)=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx $ .
Tính $ I=\int\frac{x}{\cos^2x}\,dx $ .
Đặt $ \left\{\begin{array}{l}u=x\\dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}du=dx\\v=\tan x\end{array}\right. $ . Khi đó
$ I=x\tan x-\int\tan x\,dx=x\tan x+\int\frac{d(\cos x)}{\cos x}=x\tan x+\ln|\cos x| $ .
Suy ra $ f(x)=\frac{x\tan x+\ln|\cos x|}{\sin x}=\frac{x}{\cos x}+\frac{\ln|\cos x|}{\sin x} $ .
$ a\pi\sqrt3+b\ln3=\sqrt3f\left(\frac\pi3\right)-f\left(\frac\pi6\right)=\sqrt3\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{2\ln2}{\sqrt3}\right)-\left(\frac{\pi\sqrt3}{9}+2\ln\frac{\sqrt3}{2}\right) $
$ =\frac{5\pi\sqrt3}{9}-\ln3 $ . Suy ra $ \left\{\begin{array}{l}a=\frac59\\b=-1\end{array}\right. $ .
Vậy $ P=a+b=-\frac49 $ .