Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2x+1}{x^{4} +2x^{3} +x^{2} }$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $S=F\left( 1 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( 3 \right)+\ldots +F\left( 2019 \right)$ bằng

Question

Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2x+1}{x^{4} +2x^{3} +x^{2} }$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $S=F\left( 1 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( 3 \right)+\ldots +F\left( 2019 \right)$ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $f\left( x ight)=\frac{2x+1}{x^{4} +2x^{3} +x^{2} }=\frac{2x+1}{x^{2} \left( x+1 ight)^{2} }$. Đặt $t=x\left( x+1 ight)=x^{2} +x$ $\Rightarrow { m{ d } }t=\left( 2x+1 ight){ m{ d } }x$. Khi đó $F\left( x ight)=\int { f\left( x ight){ m{ d } }x=\int { \frac{1}{t^{2} }{ m{ d } }t } }=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{x\left( x+1 ight)}+C$. Mặt khác, $F\left( 1 ight)=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow -\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow C=1$. Vậy $F\left( x ight)=-\frac{1}{x\left( x+1 ight)}+1$. Suy ra $S=F\left( 1 ight)+F\left( 2 ight)+F\left( 3 ight)+\ldots +F\left( 2019 ight)=-\left( \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots +\frac{1}{2019.2020} ight)+2019 \ =-\left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020} ight)+2019=-\left( 1-\frac{1}{2020} ight)+2019 \ =2018+\frac{1}{2020}=2018\frac{1}{2020}.$

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 28