Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 29
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1\,;\,0 \end{array} \right\}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=2\ln 2+1$, $x\left( x+1 \right)f'\left( x \right)+\left( x+2 \right)f\left( x \right)=x\left( x+1 \right)$, $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1\,;\,0 \end{array} \right\}$. Biết $f\left( 2 \right)=a+b\ln 3$, với $a$, $b$ là hai số hữu tỉ. Tính $T=a^{2} -b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $x\left( x+1 \right)f'\left( x \right)+\left( x+2 \right)f\left( x \right)=x\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)+\frac{x+2}{x\left( x+1 \right)}f\left( x \right)=1$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f'\left( x \right)+\frac{x\left( x+2 \right)}{\left( x+1 \right)^{2} }f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{x+1}$
$\Leftrightarrow \left[ \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right) \right]^{'} =\frac{x^{2}}{x+1}$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right)=\int { \frac{x^{2}}{x+1} }dx$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+c$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{x+1}{x^{2} }\left ( { \frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+c } \right ).$
Ta có $f\left( 1 \right)=2\ln 2+1$$\Leftrightarrow c=1.$
Từ đó $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x^{2} }\left ( { \frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+1 } \right )$, $f\left( 2 \right)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ln 3.$ Nên $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac{3}{4} \\ b=\frac{3}{4} \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Vậy $T=a^{2} -b=-\frac{3}{16}.$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)+\frac{x+2}{x\left( x+1 \right)}f\left( x \right)=1$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f'\left( x \right)+\frac{x\left( x+2 \right)}{\left( x+1 \right)^{2} }f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{x+1}$
$\Leftrightarrow \left[ \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right) \right]^{'} =\frac{x^{2}}{x+1}$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right)=\int { \frac{x^{2}}{x+1} }dx$$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x+1}f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+c$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{x+1}{x^{2} }\left ( { \frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+c } \right ).$
Ta có $f\left( 1 \right)=2\ln 2+1$$\Leftrightarrow c=1.$
Từ đó $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x^{2} }\left ( { \frac{x^{2}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+1 } \right )$, $f\left( 2 \right)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ln 3.$ Nên $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac{3}{4} \\ b=\frac{3}{4} \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Vậy $T=a^{2} -b=-\frac{3}{16}.$