Bài tập nâng cao · Bài 30
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 30
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left( 1\,;\,+\infty \right)$ và thỏa mãn $\left ( { xf'\left( x \right)-2f\left( x \right) } \right ).\ln x=x^{3} -f\left( x \right)$, $\forall x\in \left( 1\,;\,+\infty \right)$; biết $f\left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)=3{ \rm{ e } }$. Giá trị $f\left( 2 \right)$ ?
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình $\left ( { xf'\left( x \right)-2f\left( x \right) } \right ).\ln x=x^{3} -f\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$ trên khoảng $\left( 1\,;\,+\infty \right)$:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ln x.f'\left( x \right)+\left( 1-2\ln x \right).f\left( x \right)=x^{3} \Leftrightarrow f'\left( x \right)+\frac{1-2\ln x}{x\ln x}\cdot f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{\ln x}$ $\left( 2 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\frac{1-2\ln x}{x\ln x}$. Ta tìm một nguyên hàm $G\left( x \right)$ của $g\left( x \right)$.
Ta có $\int { g\left( x \right){ \rm{ d } }x }=\int { \frac{1-2\ln x}{x\ln x}{ \rm{ d } }x }=\int { \frac{1-2\ln x}{\ln x}{ \rm{ d } }\left( \ln x \right) }=\int { \left( \frac{1}{\ln x}-2 \right){ \rm{ d } }\left( \ln x \right) }$
$=\ln \left( \ln x \right)-2\ln x+C=\ln \left( \frac{\ln x}{x^{2} } \right)+C$.
Ta chọn $G\left( x \right)=\ln \left( \frac{\ln x}{x^{2} } \right)$.
Nhân cả 2 vế của $\left( 2 \right)$ cho ${ \rm{ e } }^{G\left( x \right)} =\frac{\ln x}{x^{2} }$, ta được: $\frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f'\left( x \right)+\frac{1-2\ln x}{x^{3} }\cdot f\left( x \right)=1$
$\Leftrightarrow \left ( { \frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f\left( x \right) } \right )'=1\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f\left( x \right)=x+C $ $\left( 3 \right)$.
Theo giả thiết, $f\left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)=3{ \rm{ e } }$ nên thay $x=\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }$ vào $\left( 3 \right)$, ta được:
$\frac{\ln \left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)}{\sqrt[3]{{ \rm{ e} }^{2} } }.f\left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)=\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }+C\Leftrightarrow C=\frac{1}{3\sqrt[3]{{ \rm{ e} }^{2} } }\cdot 3{ \rm{ e } }-\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }=0$.
Từ đây, ta tìm được $f\left( x \right)=\frac{x^{3}}{\ln x}\Rightarrow f\left( 2 \right)=\frac{2^{3}}{\ln 2}$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ln x.f'\left( x \right)+\left( 1-2\ln x \right).f\left( x \right)=x^{3} \Leftrightarrow f'\left( x \right)+\frac{1-2\ln x}{x\ln x}\cdot f\left( x \right)=\frac{x^{2}}{\ln x}$ $\left( 2 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\frac{1-2\ln x}{x\ln x}$. Ta tìm một nguyên hàm $G\left( x \right)$ của $g\left( x \right)$.
Ta có $\int { g\left( x \right){ \rm{ d } }x }=\int { \frac{1-2\ln x}{x\ln x}{ \rm{ d } }x }=\int { \frac{1-2\ln x}{\ln x}{ \rm{ d } }\left( \ln x \right) }=\int { \left( \frac{1}{\ln x}-2 \right){ \rm{ d } }\left( \ln x \right) }$
$=\ln \left( \ln x \right)-2\ln x+C=\ln \left( \frac{\ln x}{x^{2} } \right)+C$.
Ta chọn $G\left( x \right)=\ln \left( \frac{\ln x}{x^{2} } \right)$.
Nhân cả 2 vế của $\left( 2 \right)$ cho ${ \rm{ e } }^{G\left( x \right)} =\frac{\ln x}{x^{2} }$, ta được: $\frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f'\left( x \right)+\frac{1-2\ln x}{x^{3} }\cdot f\left( x \right)=1$
$\Leftrightarrow \left ( { \frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f\left( x \right) } \right )'=1\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x^{2} }\cdot f\left( x \right)=x+C $ $\left( 3 \right)$.
Theo giả thiết, $f\left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)=3{ \rm{ e } }$ nên thay $x=\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }$ vào $\left( 3 \right)$, ta được:
$\frac{\ln \left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)}{\sqrt[3]{{ \rm{ e} }^{2} } }.f\left( \sqrt[3]{{ \rm{ e} } } \right)=\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }+C\Leftrightarrow C=\frac{1}{3\sqrt[3]{{ \rm{ e} }^{2} } }\cdot 3{ \rm{ e } }-\sqrt[3]{{ \rm{ e} } }=0$.
Từ đây, ta tìm được $f\left( x \right)=\frac{x^{3}}{\ln x}\Rightarrow f\left( 2 \right)=\frac{2^{3}}{\ln 2}$.