Bài tập nâng cao · Bài 31
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 31
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $x^{6} \left[ f'\left( x \right) \right]^{3} +27\left[ f\left( x \right)-1 \right]^{4} =0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=0$. Giá trị của $f\left( 2 \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $x^{6} \left[ f'\left( x \right) \right]^{3} +27\left[ f\left( x \right)-1 \right]^{4} =0\,\Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{-3\left ( { f\left( x \right)-1} \right )\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} }=\frac{1}{x^{2} }\Leftrightarrow \left[ \frac{1}{\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} } \right]'=\frac{1}{x^{2} }. $
Do đó $\int { \left[ \frac{1}{\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} } \right]' { \rm{ d } }x=\int { \frac{1}{x^{2} }{ \rm{ d } }x }=-\frac{1}{x}+C. }$ Suy ra $\frac{1}{\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} }=-\frac{1}{x}+C$.
Có $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow C=0$. Do đó $f\left( x \right)=1-x^{3}$.
Khi đó $f\left( 2 \right)=-7.$
Do đó $\int { \left[ \frac{1}{\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} } \right]' { \rm{ d } }x=\int { \frac{1}{x^{2} }{ \rm{ d } }x }=-\frac{1}{x}+C. }$ Suy ra $\frac{1}{\sqrt[3]{f\left( x \right)-1} }=-\frac{1}{x}+C$.
Có $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow C=0$. Do đó $f\left( x \right)=1-x^{3}$.
Khi đó $f\left( 2 \right)=-7.$