Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 34
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\left ( { f'\left( x \right) } \right )^{2} =f\left( x \right).e^{x} , \forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=2$. Khi đó $f\left( 2 \right)$ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời $f\left( 0 \right)=2$ nên $f'\left( x \right)\geq 0$ và $f\left( x \right)>0$ với mọi $x\in \left [ { 0;+\infty } \right )$.
Từ giả thiết $\left ( { f'\left( x \right) } \right )^{2} =f\left( x \right).e^{x} , \forall x\in \mathbb{R}$ suy ra $f'\left( x \right)=\sqrt{f\left( x \right)}.e^{\frac{x}{2} } , \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right ).$
Do đó, $\frac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)} }=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2} } , \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right ).$
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $\sqrt{f\left( x \right)}=e^{\frac{x}{2} } +C, \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right )$ với $C$ là hằng số nào đó.
Kết hợp với $f\left( 0 \right)=2$, ta được $C=\sqrt{2}-1$.
Từ đó, tính được $f\left( 2 \right)=\left( e+\sqrt{2}-1 \right)^{2} \approx 9,81$.
Từ giả thiết $\left ( { f'\left( x \right) } \right )^{2} =f\left( x \right).e^{x} , \forall x\in \mathbb{R}$ suy ra $f'\left( x \right)=\sqrt{f\left( x \right)}.e^{\frac{x}{2} } , \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right ).$
Do đó, $\frac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)} }=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2} } , \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right ).$
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $\sqrt{f\left( x \right)}=e^{\frac{x}{2} } +C, \forall x\in \left [ { 0;+\infty } \right )$ với $C$ là hằng số nào đó.
Kết hợp với $f\left( 0 \right)=2$, ta được $C=\sqrt{2}-1$.
Từ đó, tính được $f\left( 2 \right)=\left( e+\sqrt{2}-1 \right)^{2} \approx 9,81$.