Bài tập nâng cao · Bài 40
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 40
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},$ thoả mãn $\cos x.f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=2\sin x.\cos^{3} x,$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và $f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{9\sqrt{2}}{4}$. Tính $f\left( \frac{\pi}{3} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Trường hợp 1: $\cos x=0\Rightarrow f\left( x \right)=0\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ (loại).
Trường hợp 2: $\cos x\neq 0$, khi đó
$\cos x.f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=2\sin x.\cos^{3} x$ $\Leftrightarrow \frac{\cos x.f'\left( x \right)-(\cos x)'f\left( x \right)}{\cos^{2} x }=\sin 2x$
$\Leftrightarrow \left ( { \frac{f\left( x \right)}{\cos x} } \right )'=\sin 2x\Leftrightarrow \int { \left ( { \frac{f\left( x \right)}{\cos x} } \right )'{ \rm{ d} }x=\int { \sin 2x{ \rm{ d } }x } \Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)}{\cos x}=\frac{-1}{2}\cos 2x+C } $.
Theo bài, $f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{9\sqrt{2}}{4}\Rightarrow C=\frac{9}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos 2x.\cos x+\frac{9}{2}\cos x$.
Vậy $f\left( \frac{\pi}{3} \right)=\frac{19}{8}$.
Trường hợp 2: $\cos x\neq 0$, khi đó
$\cos x.f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=2\sin x.\cos^{3} x$ $\Leftrightarrow \frac{\cos x.f'\left( x \right)-(\cos x)'f\left( x \right)}{\cos^{2} x }=\sin 2x$
$\Leftrightarrow \left ( { \frac{f\left( x \right)}{\cos x} } \right )'=\sin 2x\Leftrightarrow \int { \left ( { \frac{f\left( x \right)}{\cos x} } \right )'{ \rm{ d} }x=\int { \sin 2x{ \rm{ d } }x } \Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)}{\cos x}=\frac{-1}{2}\cos 2x+C } $.
Theo bài, $f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{9\sqrt{2}}{4}\Rightarrow C=\frac{9}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos 2x.\cos x+\frac{9}{2}\cos x$.
Vậy $f\left( \frac{\pi}{3} \right)=\frac{19}{8}$.