Bài tập nâng cao · Bài 39
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 39
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $(x-1)f'(x)=\frac{f(x)}{x+2}$ và $f(2)=2$. Giá trị $\left | { f\left( \frac{86}{85} \right) } \right |$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$(x-1)f'(x)=\frac{f(x)}{x+2}\Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}$
$\Rightarrow \ln \left | { f\left( x \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$
Do $f\left( 2 \right)=2$ suy ra $\ln \left | { f\left( 2 \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C\Leftrightarrow C=\ln 2+\ln \sqrt[3]{4}=\ln \left( 2\sqrt[3]{4} \right)$.
Suy ra $\ln \left | { f\left( \frac{86}{85} \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{256}+\ln \left( 2\sqrt[3]{4} \right)=\ln \left( \frac{2\sqrt[3]{4}}{4\sqrt[3]{4} } \right)=\ln \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left | { f\left( \frac{86}{85} \right) } \right |=\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \ln \left | { f\left( x \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$
Do $f\left( 2 \right)=2$ suy ra $\ln \left | { f\left( 2 \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C\Leftrightarrow C=\ln 2+\ln \sqrt[3]{4}=\ln \left( 2\sqrt[3]{4} \right)$.
Suy ra $\ln \left | { f\left( \frac{86}{85} \right) } \right |=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{256}+\ln \left( 2\sqrt[3]{4} \right)=\ln \left( \frac{2\sqrt[3]{4}}{4\sqrt[3]{4} } \right)=\ln \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left | { f\left( \frac{86}{85} \right) } \right |=\frac{1}{2}$.