Bài tập nâng cao · Bài 38
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 38
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $R\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1;1 \end{array} \right\}$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\frac{1}{x^{2} -1 }$. Biết $f\left( 3 \right)+f\left( -3 \right)=4$ và $f\left( \frac{1}{3} \right)+f\left( \frac{-1}{3} \right)=2$. Giá trị của biểu thức $f\left( -5 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 2 \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'(x)=\frac{1}{x^2-1}$
$\Rightarrow f(x)=\int f'(x)\,dx=\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$ với $x\in R\setminus\{-1;1\}$.
Khi đó: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1 & \text{khi }x>1\\\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_2 & \text{khi }-1<x<1\\\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_3 & \text{khi }x<-1\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}f(3)+f(-3)=C_1+C_3=4\\f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(-\frac{1}{3}\right)=2C_2=2\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}C_1+C_3=4\\C_2=1\end{array}\right.$
Vậy $f(-5)+f(0)+f(2)$
$=\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}+C_3+C_2+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}+C_1=\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}+5=5-\frac{1}{2}\ln2$.
$\Rightarrow f(x)=\int f'(x)\,dx=\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$ với $x\in R\setminus\{-1;1\}$.
Khi đó: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1 & \text{khi }x>1\\\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_2 & \text{khi }-1<x<1\\\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_3 & \text{khi }x<-1\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}f(3)+f(-3)=C_1+C_3=4\\f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(-\frac{1}{3}\right)=2C_2=2\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}C_1+C_3=4\\C_2=1\end{array}\right.$
Vậy $f(-5)+f(0)+f(2)$
$=\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}+C_3+C_2+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}+C_1=\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}+5=5-\frac{1}{2}\ln2$.