Bài tập nâng cao · Bài 37
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 37
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right) < 0,\,\forall x>0$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)f^{2} \left( x \right),\,\forall x>0$ và $f\left( 1 \right)=-\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\ldots +f\left( 2020 \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)f^{2} \left( x \right)$$\Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) }=2x+1$$\Rightarrow \int { \frac{f'\left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) }{ \rm{ d } }x=\int { \left( 2x+1 \right){ \rm{ d } }x } }$$\Rightarrow -\frac{1}{f\left( x \right)}=x^{2} +x+C$.
Mà $f\left( 1 \right)=-\frac{1}{2}$$\Rightarrow C=0$$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-1}{x^{2} +x }$$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$.
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}-1 \\ f\left( 2 \right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ f\left( 3 \right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \\ \vdots \\ f\left( 2020 \right)=\frac{1}{2021}-\frac{1}{2020} \end{array} \right.$ $\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\ldots .+f\left( 2020 \right)=-1+\frac{1}{2021}$$=-\frac{2020}{2021}$.
$f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)f^{2} \left( x \right)$$\Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) }=2x+1$$\Rightarrow \int { \frac{f'\left( x \right)}{f^{2} \left( x \right) }{ \rm{ d } }x=\int { \left( 2x+1 \right){ \rm{ d } }x } }$$\Rightarrow -\frac{1}{f\left( x \right)}=x^{2} +x+C$.
Mà $f\left( 1 \right)=-\frac{1}{2}$$\Rightarrow C=0$$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-1}{x^{2} +x }$$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$.
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}-1 \\ f\left( 2 \right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ f\left( 3 \right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \\ \vdots \\ f\left( 2020 \right)=\frac{1}{2021}-\frac{1}{2020} \end{array} \right.$ $\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\ldots .+f\left( 2020 \right)=-1+\frac{1}{2021}$$=-\frac{2020}{2021}$.