Bài tập nâng cao · Bài 36
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 36
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1;\,0 \end{array} \right\}$ thỏa mãn điều kiện: $f\left( 1 \right)=-2\ln 2$ và $x.\left( x+1 \right).f'\left( x \right)+f\left( x \right)=x^{2} +x$. Biết $f\left( 2 \right)=a+b.\ln 3$ ($a$, $b\in \mathbb{Q}$). Giá trị $2\left( a^{2} +b^{2} \right)$ là
Xem lời giải
Lời giải
Chia cả hai vế của biểu thức $x.\left( x+1 \right).f'\left( x \right)+f\left( x \right)=x^{2} +x$ cho $\left( x+1 \right)^{2}$ ta có
$\frac{x}{x+1}.f'\left( x \right)+\frac{1}{\left( x+1 \right)^{2} }f\left( x \right)=\frac{x}{x+1}\Leftrightarrow \left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]'=\frac{x}{x+1} $.
Vậy $\frac{x}{x+1}.f\left( x \right)=\int { \left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]' { \rm{ d } }x=\int { \frac{x}{x+1} }{ \rm{ d } }x=\int { \left( 1-\frac{1}{x+1} \right) }{ \rm{ d } }x=x-\ln \left| x+1 \right|+C }$.
Do $f\left( 1 \right)=-2\ln 2$ nên ta có $\frac{1}{2}.f\left( 1 \right)=1-\ln 2+C\Leftrightarrow -\ln 2=1-\ln 2+C\Leftrightarrow C=-1$.
Khi đó $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left ( { x-\ln \left| x+1 \right|-1 } \right )$.
Vậy ta có $f\left( 2 \right)=\frac{3}{2}\left( 2-\ln 3-1 \right)=\frac{3}{2}\left( 1-\ln 3 \right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\Rightarrow a=\frac{3}{2},\,\,b=-\frac{3}{2}$.
Suy ra $2\left( a^{2} +b^{2} \right)=2\left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2} +\left( -\frac{3}{2} \right)^{2} \right]=9$.
$\frac{x}{x+1}.f'\left( x \right)+\frac{1}{\left( x+1 \right)^{2} }f\left( x \right)=\frac{x}{x+1}\Leftrightarrow \left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]'=\frac{x}{x+1} $.
Vậy $\frac{x}{x+1}.f\left( x \right)=\int { \left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]' { \rm{ d } }x=\int { \frac{x}{x+1} }{ \rm{ d } }x=\int { \left( 1-\frac{1}{x+1} \right) }{ \rm{ d } }x=x-\ln \left| x+1 \right|+C }$.
Do $f\left( 1 \right)=-2\ln 2$ nên ta có $\frac{1}{2}.f\left( 1 \right)=1-\ln 2+C\Leftrightarrow -\ln 2=1-\ln 2+C\Leftrightarrow C=-1$.
Khi đó $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left ( { x-\ln \left| x+1 \right|-1 } \right )$.
Vậy ta có $f\left( 2 \right)=\frac{3}{2}\left( 2-\ln 3-1 \right)=\frac{3}{2}\left( 1-\ln 3 \right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\Rightarrow a=\frac{3}{2},\,\,b=-\frac{3}{2}$.
Suy ra $2\left( a^{2} +b^{2} \right)=2\left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2} +\left( -\frac{3}{2} \right)^{2} \right]=9$.