Bài tập nâng cao · Bài 3
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 3
Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { x } $ , thỏa mãn $ F\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { ln2 } $ . Tính giá trị biểu thức $ T=F\left ( { 0 } \right )+F\left ( { 1 } \right )+F\left ( { 2 } \right )+...+F\left ( { 2019 } \right ) $ .
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ F\left ( { x } \right )=\int { 2 ^ { x } { \rm{ d } }x }=\frac { 2 ^ { x } } { ln2 }+C $ .
Theo giả thiết $ F\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { ln2 }\Leftrightarrow \frac { 2 ^ { 0 } } { ln2 }+C=\frac { 1 } { ln2 }\Leftrightarrow C=0 $ . Suy ra: $ F\left ( { x } \right )=\frac { 2 ^ { x } } { ln2 } $ Vậy $ T=F\left ( { 0 } \right )+F\left ( { 1 } \right )+F\left ( { 2 } \right )+...+F\left ( { 2019 } \right )=\frac { 2 ^ { 0 } } { ln2 }+\frac { 2 ^ { 1 } } { ln2 }+\frac { 2 ^ { 2 } } { ln2 }+...+\frac { 2 ^ { 2019 } } { ln2 } $ $ =\frac { 1 } { ln2 }\left ( { 2 ^ { 0 } +2 ^ { 1 } +2 ^ { 2 } +...+2 ^ { 2019 } } \right )=\frac { 1 } { ln2 }.1.\frac { 1-2 ^ { 2020 } } { 1-2 }=\frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { ln2 } $ .
Theo giả thiết $ F\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { ln2 }\Leftrightarrow \frac { 2 ^ { 0 } } { ln2 }+C=\frac { 1 } { ln2 }\Leftrightarrow C=0 $ . Suy ra: $ F\left ( { x } \right )=\frac { 2 ^ { x } } { ln2 } $ Vậy $ T=F\left ( { 0 } \right )+F\left ( { 1 } \right )+F\left ( { 2 } \right )+...+F\left ( { 2019 } \right )=\frac { 2 ^ { 0 } } { ln2 }+\frac { 2 ^ { 1 } } { ln2 }+\frac { 2 ^ { 2 } } { ln2 }+...+\frac { 2 ^ { 2019 } } { ln2 } $ $ =\frac { 1 } { ln2 }\left ( { 2 ^ { 0 } +2 ^ { 1 } +2 ^ { 2 } +...+2 ^ { 2019 } } \right )=\frac { 1 } { ln2 }.1.\frac { 1-2 ^ { 2020 } } { 1-2 }=\frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { ln2 } $ .