Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2x } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ . Biết $ F\left ( { 3 } \right )=6 $ , giá trị của $ F\left ( { 8 } \right ) $ là:

Question

Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2x } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ . Biết $ F\left ( { 3 } \right )=6 $ , giá trị của $ F\left ( { 8 } \right ) $ là:

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { \frac { 2x } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx }=\int { \left ( { \frac { 2x+2-2 } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx }=\int { \left ( { 2\sqrt[] { x+1 }-\frac { 2 } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx } $ $ =\int { \left ( { 2\left ( { x+1 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } -2\left ( { x+1 } \right ) ^ { -\frac { 1 } { 2 } } -\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx }=\frac { 4 } { 3 }\left ( { x+1 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } -4\left ( { x+1 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } +\frac { 1 } { x }+C $ Vì $ F\left ( { 3 } \right )=6 $ nên $ \frac { 4 } { 3 }.4 ^ { \frac { 3 } { 2 } } -4\sqrt[] { 4 }+\frac { 1 } { 3 }+C=6\Leftrightarrow C=3 $ . $ \Rightarrow F\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 3 }\left ( { x+1 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } -4\left ( { x+1 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } +\frac { 1 } { x }+3 $ $ \Rightarrow F\left ( { 8 } \right )=\frac { 217 } { 8 } $ .

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 11