Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:x+3y+7=0$ và điểm $A(1;5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên tia đối của tia $CB$ sao cho $MC=2BC$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Biết $N\left(-\frac52;\frac12\right)$, $x_B0$, tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $NCM$?

Question

Dạng 1. Phương trình đường tròn Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:x+3y+7=0$ và điểm $A(1;5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên tia đối của tia $CB$ sao cho $MC=2BC$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Biết $N\left(-\frac52;\frac12\right)$, $x_B>0$, tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $NCM$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Chọn C. [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image349.png] Ta có $A,B,C,D,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BD$, cũng là đường tròn đường kính $AC$, tâm $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên $\widehat{ANC}=90^\circ$. Vì $C\in d\Rightarrow C(-3t-7;t)\Rightarrow\overrightarrow{NC}=\left(-3t-\frac92;t-\frac12ight)$, $\overrightarrow{NA}=\left(\frac72;\frac92ight)$. Vì $\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{NC}=0\Leftrightarrow\frac72\left(-3t-\frac92ight)+\frac92\left(t-\frac12ight)=0\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow C(2;-3)$. Khi đó $I\left(\frac32;1ight)$. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ có bán kính $IN=\frac{\sqrt{65}}2$ nên có phương trình: $\left(x-\frac32ight)^2+(y-1)^2=\frac{65}{4}$. Ta có $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2-x_M=-2(2-x_B)\-3-y_M=-2(-3-y_B)\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=6-2x_B\y_M=-9-2y_B\end{array}ight.\Rightarrow M(6-2x_B;-9-2y_B)$. Do $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NB}=0\Leftrightarrow\left(-\frac52-6+2x_Bight)\left(x_B+\frac52ight)+\left(y_B-\frac12ight)\left(\frac12+9+2y_Bight)=0$. Mà $B\in(I)$ nên $\left(x_B-\frac32ight)^2+(y_B-1)^2=\frac{65}{4}$. Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(-\frac52-6+2x_Bight)\left(x_B+\frac52ight)+\left(y_B-\frac12ight)\left(\frac12+9+2y_Bight)=0\\left(x_B-\frac32ight)^2+(y_B-1)^2=\frac{65}{4}\end{array}ight.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_B=5;y_B=-1\x_B=-\frac52;y_B=\frac12\end{array}ight.$. $\Rightarrow B(5;-1)$ vì $x_B>0$. Với $B(5;-1)\Rightarrow M(-4;-7)$, khi đó đường tròn đi qua 3 điểm $N,M,C$ có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2>c$. Thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{25}{4}+\frac14+5a-b+c=0\4+9-4a+6b+c=0\16+49+8a+14b+c=0\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-2\b=-\frac72\c=0\end{array}ight.$. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2+4x+7y=0$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 17