Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y-5=0$. Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d:3x-4y+12=0$ và cắt đường tròn $(C)$ theo một dây cung có độ dài bằng 8 là:

Question

Dạng 2. Phương trình đường thẳng Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y-5=0$. Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d:3x-4y+12=0$ và cắt đường tròn $(C)$ theo một dây cung có độ dài bằng 8 là:

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+8y-5=0$ có tâm $I(2;-4)$, $R=\sqrt{2^2+(-4)^2+5}=5$. Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$. Vì $\Delta\perp d$ nên phương trình $\Delta$ có dạng: $4x+3y+m=0$. Giả sử đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ theo dây cung $AB$. [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image386.png] Gọi $E$ là trung điểm đoạn $AB$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}IE\perp AB\AE=\frac12AB=4\end{array}ight.$. Xét $	riangle IEA$ vuông tại $E$: $IE=\sqrt{IA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. Ta có $IE=3=d(I,\Delta)=\frac{|8-12+m|}{\sqrt{4^2+3^2}}\Leftrightarrow|m-4|=15\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=19\m=-11\end{array}ight.$. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $4x+3y+19=0$ và $4x+3y-11=0$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 18