Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) $y=\sqrt{1+\sin x}+2$
b) $y=3\sin x+4\cos x$
c) $y=\left( \sin x-2\cos x \right)\left( 2\sin x+\cos x \right)-1$
d) $y=\frac{\sin x+\cos x-1}{\sin x-\cos x+3}$.

Question

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số $y=f\left( x ight)$ xác định trên miền $D\subset R$. 1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)\leq M,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=M \end{array} ight.$ 2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)>m,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=m \end{array} ight.$ Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác. 2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin$ và $\cos$. Lưu ý 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$. b. Với $n$ số: Cho hai số thực $x_{1};\,x_{2};\,x_{3};\,\ldots ;\,x_{n}$ là các số dương $n\in N^{*}$, ta có $\frac{x_{1}+\,x_{2}+\,x_{3}+\,\ldots +\,x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}.\,x_{2}.x_{3}.\,..\,x_{n}}$ dấu bằng xảy ra khi $x_{1}=\,x_{2}=\,x_{3}=\,\ldots =x_{n}$. 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq \left( ac+bd ight)^{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số $\left( a_{1};\,a_{2};\,\ldots ;\,a_{n}ight)$ và $\left( b_{1};\,b_{2};\,\ldots ;\,b_{n}ight)$ ta có $\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2} ight)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2} ight)\geq \left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}ight)^{2}$ c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq 4abcd$ Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a) $y=\sqrt{1+\sin x}+2$ b) $y=3\sin x+4\cos x$ c) $y=\left( \sin x-2\cos x ight)\left( 2\sin x+\cos x ight)-1$ d) $y=\frac{\sin x+\cos x-1}{\sin x-\cos x+3}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $y=\sqrt{1+\sin x}+2$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$. $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có: $-1\leq \sin x\leq 1$ $\Leftrightarrow 0\leq 1+\sin x\leq 2$ $\Leftrightarrow 0\leq \sqrt{1+\sin x}\leq \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 2\leq \sqrt{1+\sin x}+2\leq \sqrt{2}+2$ $\Leftrightarrow 2\leq y\leq \sqrt{2}+2$. Vậy $\mathop{\min}\limits_{\mathbb{R}}y=2\Leftrightarrow \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$ và $\mathop{\max}\limits_{\mathbb{R}}y=\sqrt{2}+2\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$. b) $y=3\sin x+4\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $\left| y ight|=\left| 3\sin x+4\cos x ight|\leq \sqrt{\left( 3^{2}+4^{2} ight)\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x ight)}=5\Leftrightarrow -5\leq y\leq 5$. Vậy $\mathop{\min}\limits_{\mathbb{R}}y=-5$ và $\mathop{\max}\limits_{\mathbb{R}}y=5$. c) $y=\left( \sin x-2\cos x ight)\left( 2\sin x+\cos x ight)-1$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y=2\sin^{2}x-3\sin x\cos x-2\cos^{2}x-1$ $\Leftrightarrow y=-2\cos 2x-\frac{3}{2}\sin 2x-1\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin 2x+2\cos 2x=-y-1$ $\left( * ight)$. Để tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho thì phương trình $\left( * ight)$ phải có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{9}{4}+4\geq \left( -y-1 ight)^{2}\Leftrightarrow \left( y+1 ight)^{2}\leq \frac{25}{4}\Leftrightarrow -\frac{7}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}$. Vậy $\mathop{\min}\limits_{\mathbb{R}}y=-\frac{7}{2}$ và $\mathop{\max}\limits_{\mathbb{R}}y=\frac{3}{2}$. d) $y=\frac{\sin x+\cos x-1}{\sin x-\cos x+3}$. Dễ thấy $\sin x-\cos x+3
eq 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho có TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y\left( \sin x-\cos x+3 ight)=\sin x+\cos x-1$ $\Leftrightarrow \left( y-1 ight)\sin x-\left( y+1 ight)\cos x=-3y-1$ $\left( * ight)$. Để tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho thì phương trình $\left( * ight)$ phải có nghiệm $\Leftrightarrow \left( y-1 ight)^{2}+\left( y+1 ight)^{2}\geq \left( -3y-1 ight)^{2}$ $\Leftrightarrow 7y^{2}+6y-1\leq 0\Leftrightarrow -1\leq y\leq \frac{1}{7}$. Vậy $\mathop{\min}\limits_{\mathbb{R}}y=-1$ và $\mathop{\max}\limits_{\mathbb{R}}y=\frac{1}{7}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 17