Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
a) $y=3\sin x-4\cos x$
b) $y=2\left( \sin x-\cos x \right)^{2}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$
c) $y=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$
d) $y=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$

Question

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số $y=f\left( x ight)$ xác định trên miền $D\subset R$. 1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)\leq M,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=M \end{array} ight.$ 2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)>m,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=m \end{array} ight.$ Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác. 2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin$ và $\cos$. Lưu ý 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$. b. Với $n$ số: Cho hai số thực $x_{1};\,x_{2};\,x_{3};\,\ldots ;\,x_{n}$ là các số dương $n\in N^{*}$, ta có $\frac{x_{1}+\,x_{2}+\,x_{3}+\,\ldots +\,x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}.\,x_{2}.x_{3}.\,..\,x_{n}}$ dấu bằng xảy ra khi $x_{1}=\,x_{2}=\,x_{3}=\,\ldots =x_{n}$. 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq \left( ac+bd ight)^{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số $\left( a_{1};\,a_{2};\,\ldots ;\,a_{n}ight)$ và $\left( b_{1};\,b_{2};\,\ldots ;\,b_{n}ight)$ ta có $\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2} ight)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2} ight)\geq \left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}ight)^{2}$ c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq 4abcd$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. a) $y=3\sin x-4\cos x$ b) $y=2\left( \sin x-\cos x ight)^{2}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$ c) $y=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$ d) $y=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $y=3\sin x-4\cos x$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Giả sử $y_0$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình $y_0=3\sin x-4\cos x$ có nghiệm. $\Leftrightarrow y_0^{2}\leq 3^{2}+\left( -4 \right)^{2}=25$ $\Leftrightarrow -5\leq y_0\leq 5$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-5$. b) $y=2\left( \sin x-\cos x \right)^{2}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Giả sử $y_0$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình $y_0=2\left( \sin x-\cos x \right)^{2}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$ có nghiệm $\Leftrightarrow y_0=2\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x-1$ có nghiệm $\Leftrightarrow 2y_0+2=4\cos 2x+\sin 2x$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left( 2y_0+2 \right)^{2}\leq 17$ $\Leftrightarrow 4y_0^{2}+8y_0-13\leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{-2-\sqrt{17}}{2}\leq y_0\leq \frac{-2+\sqrt{17}}{2}$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{-2+\sqrt{17}}{2}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{-2-\sqrt{17}}{2}$. c) $y=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Giả sử $y_0$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình $y_0=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left( y_0-2 \right)\sin x+\left( y_0-1 \right)\cos x=2+2y_0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left( 2y_0+2 \right)^{2}\leq \left( y_0-2 \right)^{2}+\left( y_0-1 \right)^{2}$ $\Leftrightarrow 2y_0^{2}+14y_0-1\leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{-7-\sqrt{51}}{2}\leq y_0\leq \frac{-7+\sqrt{51}}{2}$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{-7+\sqrt{51}}{2}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{-7-\sqrt{51}}{2}$. d) $y=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$ Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Giả sử $y_0$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình $y_0=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$ có nghiệm $\Leftrightarrow y_0\sin x-\left( y_0+2 \right)\cos x=1-3y_0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left( 1-3y_0 \right)^{2}\leq y_0^{2}+\left( y_0+2 \right)^{2}$ $\Leftrightarrow 7y_0^{2}-10y_0-3\leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{46}}{7}\leq y_0\leq \frac{5+\sqrt{46}}{7}$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{5+\sqrt{46}}{7}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{5-\sqrt{46}}{7}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 18