Bài tập nâng cao · Bài 19

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên miền $D\subset R$. 1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right)\leq M,\forall x\in D \\ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}\right)=M \end{array} \right.$ 2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right)>m,\forall x\in D \\ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}\right)=m \end{array} \right.$ Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác. 2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin$ và $\cos$. Lưu ý 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$. b. Với $n$ số: Cho hai số thực $x_{1};\,x_{2};\,x_{3};\,\ldots ;\,x_{n}$ là các số dương $n\in N^{*}$, ta có $\frac{x_{1}+\,x_{2}+\,x_{3}+\,\ldots +\,x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}.\,x_{2}.x_{3}.\,..\,x_{n}}$ dấu bằng xảy ra khi $x_{1}=\,x_{2}=\,x_{3}=\,\ldots =x_{n}$. 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. $\left( a^{2} +b^{2} \right)\left( c^{2} +d^{2} \right)\geq \left( ac+bd \right)^{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số $\left( a_{1};\,a_{2};\,\ldots ;\,a_{n}\right)$ và $\left( b_{1};\,b_{2};\,\ldots ;\,b_{n}\right)$ ta có $\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2} \right)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2} \right)\geq \left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\right)^{2}$ c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( a^{2} +b^{2} \right)\left( c^{2} +d^{2} \right)\geq 4abcd$

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 19

Xem lời giải

Lời giải

a) $y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x+1}{\sin 3x+\cos 3x+2}$ (1)
Ta có $\sin 3x+\cos 3x+2\neq 0\,\,\,\,\forall x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$
Giả sử $y_0$ là một giá trị hàm số, khi đó tồn tại $x\in \mathbb{R}$ sao cho:
$y_0\left( \sin 3x+\cos 3x+2 \right)=\sin 3x+2\cos 3x+1$.
$\Leftrightarrow \left( y_0-1 \right)\sin 3x+\left( y_0-2 \right)\cos 3x=1-2y_0$.
Phương trình có nghiệm khi:
$\left( y_0-1 \right)^{2}+\left( y_0-2 \right)^{2}\geq \left( 1-2y_0 \right)^{2}$.
$\Leftrightarrow 2y_0^{2}+2y_0-4\leq 0$.
$\Leftrightarrow -2\leq y_0\leq 1$.
b) $y=\sin \frac{2x}{1+x^{2}}+\cos \frac{4x}{1+x^{2}}+1$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Đặt $t=\frac{2x}{1+x^{2}}$, ta có:
$\left. \begin{array}{l} \left| t \right|=\frac{2\left| x \right|}{1+x^{2}}\leq 1,\,\forall x\neq 0 \\ x=0\Rightarrow t=0 \end{array} \right\}\Rightarrow t\in \left[ -1;\,1 \right]$.
Hàm số trở thành $y=\sin t+\cos 2t+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t\in \left[ -1;\,1 \right]$.
$\Rightarrow y=-2\sin^{2}t+\sin t+2$.
Đặt $a=\sin t\,$ suy ra $a\in \left[ \sin \left( -1 \right);\sin \left( 1 \right)\, \right]$.
Hàm số trở thành $y=-2a^{2}+a+2$.
Ta có bảng biến thiên:

Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=-2\left( \sin \left( -1 \right) \right)^{2}+\sin \left( -1 \right)+2$.
Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=\frac{17}{8}$.
c) $y=\sqrt{3}\sin 2x+2\sin^{2}x-1$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y=\sqrt{3}\sin 2x+2\sin^{2}x-1=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin \left( 2x-\frac{\pi}{6} \right)$
$\Rightarrow -2\leq y\leq 2$.
d) $y=3\sin \left( 3x+\frac{\pi}{6} \right)+4\cos \left( 3x+\frac{\pi}{6} \right)$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y=3\sin \left( 3x+\frac{\pi}{6} \right)+4\cos \left( 3x+\frac{\pi}{6} \right)=5\sin \left( 3x+\frac{\pi}{6}+\alpha \right)$.
(với $\cos \alpha =\frac{3}{5};\,\sin \alpha =\frac{4}{5}$).
$\Rightarrow -5\leq y\leq 5$.