Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) $y=4-2\cos 2x$.
b) $y=\sqrt{3+\sin^{2018}x}$.
c) $y=\sin x-\cos x+3$.
d) $y=\sin^{2}x+2\sin x\cos x-\cos^{2}x+5$
e) $y=4\cos^{2}x-4\cos x+3$ với $x\in \left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} \right]$
f) $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} \right]$

Question

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số $y=f\left( x ight)$ xác định trên miền $D\subset R$. 1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)\leq M,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=M \end{array} ight.$ 2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)>m,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=m \end{array} ight.$ Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác. 2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin$ và $\cos$. Lưu ý 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$. b. Với $n$ số: Cho hai số thực $x_{1};\,x_{2};\,x_{3};\,\ldots ;\,x_{n}$ là các số dương $n\in N^{*}$, ta có $\frac{x_{1}+\,x_{2}+\,x_{3}+\,\ldots +\,x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}.\,x_{2}.x_{3}.\,..\,x_{n}}$ dấu bằng xảy ra khi $x_{1}=\,x_{2}=\,x_{3}=\,\ldots =x_{n}$. 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq \left( ac+bd ight)^{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số $\left( a_{1};\,a_{2};\,\ldots ;\,a_{n}ight)$ và $\left( b_{1};\,b_{2};\,\ldots ;\,b_{n}ight)$ ta có $\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2} ight)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2} ight)\geq \left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}ight)^{2}$ c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq 4abcd$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau a) $y=4-2\cos 2x$. b) $y=\sqrt{3+\sin^{2018}x}$. c) $y=\sin x-\cos x+3$. d) $y=\sin^{2}x+2\sin x\cos x-\cos^{2}x+5$ e) $y=4\cos^{2}x-4\cos x+3$ với $x\in \left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$ f) $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $y=4-2\cos 2x$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-1\leq \cos 2x\leq 1\Leftrightarrow 2\geq -2\cos 2x\geq -2\Leftrightarrow 6\geq 4-2\cos 2x\geq 2$. Ta có $y=6$ khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ và $y=2$ khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)\Leftrightarrow x=k\pi$. Vậy $\max y=6$ khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ và $\min y=2$ khi $x=k\pi$. b) $y=\sqrt{3+\sin^{2018}x}$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-1\leq \sin x\leq 1\Rightarrow 0\leq \sin^{2018}x\leq 1\Leftrightarrow 3\leq 3+\sin^{2018}x\leq 4\Leftrightarrow \sqrt{3}\leq \sqrt{3+\sin^{2018}x}\leq 2$. Ta có $y=\sqrt{3}$ khi $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$ và $y=2$ khi $\sin x=\pm 1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$. Vậy $\max y=2$ khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ và $\min y=\sqrt{3}$ khi $x=k\pi$. c) $y=\sin x-\cos x+3$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-\sqrt{\left( 1^{2}+1^{2} ight)\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x ight)}\leq \sin x-\cos x\leq \sqrt{\left( 1^{2}+1^{2} ight)\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x ight)}$ $\Leftrightarrow -\sqrt{2}+3\leq \sin x-\cos x+3\leq \sqrt{2}+3$. Ta có $y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$ và $y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$. Vậy $\min y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$, $\max y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} ight)$. d) TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có $y=\sin 2x-\cos 2x+5$ hay $y=\sqrt{2}\sin\left( 2x-\frac{\pi}{4} ight)+5$ $\begin{array}{l} \forall x\in \mathbb{R},\,\,-1\leq \sin\left( 2x-\frac{\pi}{4} ight)\leq 1 \ \Leftrightarrow \forall x\in \mathbb{R},\,\,5-\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\sin\left( 2x-\frac{\pi}{4} ight)+5\leq 5+\sqrt{2} \end{array}$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l} y\geq 5-\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \ y\left( -\frac{\pi}{8} ight)=5-\sqrt{2} \end{array} ight.$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $5-\sqrt{2}$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} y\leq 5+\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \ y\left( \frac{3\pi}{8} ight)=5+\sqrt{2} \end{array} ight.$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là $5+\sqrt{2}$. e) Đặt $t=\cos x$. Với $\frac{\pi}{3}\leq x\leq \frac{5\pi}{6}$ ta có $\frac{-\sqrt{3}}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}$ Khi đó ta có $y=f\left( t ight)=4t^{2}-4t+3$, $\frac{-\sqrt{3}}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}$ Ta có bảng biến thiên: [IMAGE:question_images/11-3. HAM SO LUONG GIAC/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image388.png] Từ bảng biến thiên ta có: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$ là $6+2\sqrt{3}$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$ là $2$. f) Ta có $y=-2\sin^{2}x+5\sin x+3$. Đặt $t=\sin x$. Với $\frac{\pi}{3}\leq x\leq \frac{5\pi}{6}$ ta có $\frac{1}{2}\leq t\leq 1$. Khi đó ta có $y=f\left( t ight)=-2t^{2}+5t+3$, $\frac{1}{2}\leq t\leq 1$. Ta có bảng biến thiên: [IMAGE:question_images/11-3. HAM SO LUONG GIAC/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image396.png] Từ bảng biến thiên ta có: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$ là $6$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6} ight]$ là $5$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 16