Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
a) $y=2\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} \right)-3$
b) $y=-5+2\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)$
c) $y=2\sqrt{\cos 3x}-1$
d) $y=\frac{\sin^{2}(3x)}{2}-3\cos^{2}\left( 3x \right)$

Question

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số $y=f\left( x ight)$ xác định trên miền $D\subset R$. 1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)\leq M,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=M \end{array} ight.$ 2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x ight)$ trên D nếu $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x ight)>m,\forall x\in D \ \exists x_{0}\in D,f\left( x_{0}ight)=m \end{array} ight.$ Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác. 2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin$ và $\cos$. Lưu ý 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$. b. Với $n$ số: Cho hai số thực $x_{1};\,x_{2};\,x_{3};\,\ldots ;\,x_{n}$ là các số dương $n\in N^{*}$, ta có $\frac{x_{1}+\,x_{2}+\,x_{3}+\,\ldots +\,x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}.\,x_{2}.x_{3}.\,..\,x_{n}}$ dấu bằng xảy ra khi $x_{1}=\,x_{2}=\,x_{3}=\,\ldots =x_{n}$. 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq \left( ac+bd ight)^{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số $\left( a_{1};\,a_{2};\,\ldots ;\,a_{n}ight)$ và $\left( b_{1};\,b_{2};\,\ldots ;\,b_{n}ight)$ ta có $\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2} ight)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2} ight)\geq \left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}ight)^{2}$ c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( a^{2} +b^{2} ight)\left( c^{2} +d^{2} ight)\geq 4abcd$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a) $y=2\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)-3$ b) $y=-5+2\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)$ c) $y=2\sqrt{\cos 3x}-1$ d) $y=\frac{\sin^{2}(3x)}{2}-3\cos^{2}\left( 3x ight)$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $-1\leq \sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)\leq 1$ $\Rightarrow -2\leq 2\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)\leq 2$ $\Rightarrow -5\leq 2\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)-3\leq -1$ Suy ra $y_{max}=-1$ khi $\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{k2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$. $y_{min}=-5$ khi $\sin\left( 3x-\frac{\pi}{2} ight)=-1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$. b) Ta có $0\leq \cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)\leq 1$. $\Rightarrow 0\leq 2\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)\leq 2$ $\Rightarrow -5\leq 2\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)-5\leq -3$ Suy ra $y_{min}=-5$ khi $\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)=0\Rightarrow \cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}$. $y_{max}=-3$ khi $\cos^{2}\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)=1\Rightarrow \cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} ight)=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \ x=\frac{2\pi}{3}+k\pi \end{array} ight.,k\in \mathbb{Z}$. c) Ta có $0\leq \sqrt{\cos 3x}\leq 1$ $\Rightarrow -1\leq 2\sqrt{\cos 3x}-1\leq 1$ Suy ra $y_{min}=-1$ khi $\cos 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$. $y_{max}=1$ khi $\cos 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$. d) Ta có $y=\frac{\sin^{2}3x-6\left( 1-\sin^{2}3x ight)}{2}=\frac{7\sin^{2}3x-6}{2}$. $0\leq \sin^{2}3x\leq 1\Rightarrow -3\leq \frac{7\sin^{2}3x-6}{2}\leq \frac{1}{2}$ Suy ra $y_{min}=-3$ khi $\sin 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$. $y_{max}=\frac{1}{2}$ khi $\sin^{2}3x=1\Leftrightarrow \sin 3x=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3} \ x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3} \end{array} ight.,k\in \mathbb{Z}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 15