(KNTT11) Xét tính tăng, giảm và tính bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\frac{1-n}{n+1}$.

Question

Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=f(n)$ là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f(n)\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ hoặc $u_n=f(n)\geq m,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 2: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1+v_2+\ldots+v_k+\ldots+v_n$ (tổng hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq a_k-a_{k+1}$ Lúc đó $u_n\leq \left( a_1-a_2 \right)+\left( a_2-a_3 \right)+\ldots\left( a_n-a_{n+1} \right)$ Suy ra $u_n\leq a_1-a_{n+1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 3: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1.v_2v_3\ldots v_n$ với $v_n>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ (tích hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq \frac{a_{k+1}}{a_k}$ Lúc đó $u_n\leq \frac{a_2}{a_1}.\frac{a_3}{a_2}\ldots\frac{a_{n+1}}{a_n}$ Suy ra $u_n\leq \frac{a_{n+1}}{a_1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số $(u_n)$ giảm thì bị chặn trên, dãy số $(u_n)$ tăng thì bị chặn dưới (KNTT11) Xét tính tăng, giảm và tính bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\frac{1-n}{n+1}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n & =\frac{1-(n+1)}{n+2}-\frac{1-n}{n+1}=-\frac{n}{n+2}-\frac{1-n}{n+1} \ & =\frac{-n(n+1)-(1-n)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=-\frac{2}{(n+2)(n+1)}<0,\forall n\geq 1 \ \end{array}$ Do đó $\left( u_n ight)$ là dãy số giảm. Do $u_n=\frac{1-n}{n+1}=\frac{-(n+1)+2}{n+1}=-1+\frac{2}{n+1}>-1,\forall n\geq 1$, nên dãy $\left( u_n ight)$ bị chặn dưới. Dãy $\left( u_n ight)$ cũng bị chặn trên vì $u_n=-1+\frac{2}{n+1}\leq -1+\frac{2}{1+1}=0,\forall n\geq 1$. Do đó $\left( u_n ight)$ là dãy số bị chặn.

Bài tự luận Dãy số · Bài 27