(CTST11) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}$.

Question

Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=f(n)$ là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f(n)\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ hoặc $u_n=f(n)\geq m,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 2: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1+v_2+\ldots+v_k+\ldots+v_n$ (tổng hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq a_k-a_{k+1}$ Lúc đó $u_n\leq \left( a_1-a_2 \right)+\left( a_2-a_3 \right)+\ldots\left( a_n-a_{n+1} \right)$ Suy ra $u_n\leq a_1-a_{n+1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 3: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1.v_2v_3\ldots v_n$ với $v_n>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ (tích hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq \frac{a_{k+1}}{a_k}$ Lúc đó $u_n\leq \frac{a_2}{a_1}.\frac{a_3}{a_2}\ldots\frac{a_{n+1}}{a_n}$ Suy ra $u_n\leq \frac{a_{n+1}}{a_1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số $(u_n)$ giảm thì bị chặn trên, dãy số $(u_n)$ tăng thì bị chặn dưới (CTST11) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}};u_{n+1}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$. Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. Do $u_n<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}$, suy ra $1

Bài tự luận Dãy số · Bài 26