Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp: Cách 1: Xét hiệu: $H=u_{n+1}-u_n$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $H>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $H<0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm. Cách 2: Nếu $u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì ta xét thương: $T=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $T>1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $T<1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
Bài tự luận Dãy số · Bài 18
(CTST11) Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left( u_n \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau:
a) $u_n=n-\sqrt{n^{2}-1}$
b) $u_n=\frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}}$
c) $u_n=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$.
a) $u_n=n-\sqrt{n^{2}-1}$
b) $u_n=\frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}}$
c) $u_n=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $u_{n+1}-u_n=(n+1)-\sqrt{(n+1)^{2}-1}-\left( n-\sqrt{n^{2}-1} \right)$
$=1-\sqrt{(n+1)^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-1}<0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Suy ra $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
b) Ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l} u_2>u_1 \\ u_3<u_2 \end{array} \right.$.
Do đó, $\left( u_n \right)$ là dãy số không tăng, không giảm.
c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n}+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Do đó, $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
$=1-\sqrt{(n+1)^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-1}<0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Suy ra $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
b) Ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l} u_2>u_1 \\ u_3<u_2 \end{array} \right.$.
Do đó, $\left( u_n \right)$ là dãy số không tăng, không giảm.
c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n}+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Do đó, $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.