(KNTT11) Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:
a) $u_n=n^{2}+n+1$
b) $u_n=\frac{2n+5}{n+2}$
c) $u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

Question

Dạng 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số Phương pháp: Cách 1: Xét hiệu: $H=u_{n+1}-u_n$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $H>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $H<0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm. Cách 2: Nếu $u_n>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì ta xét thương: $T=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$. - Nếu $T>1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng. - Nếu $T<1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$ thì dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm. (KNTT11) Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau: a) $u_n=n^{2}+n+1$ b) $u_n=\frac{2n+5}{n+2}$ c) $u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $u_{n+1}-u_n=(n+1)^{2}+n+1+1-\left( n^{2}+n+1 ight)=2n+2>0,\forall n\geq 1$, nên $\left( u_n ight)$ là dãy số tăng. b) Ta có $\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n & =\frac{2(n+1)+5}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}=\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2} \ & =\frac{(2n+7)(n+2)-(2n+5)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{-1}{(n+2)(n+3)}<0,\forall n\geq 1 \end{array}$ nên $\left( u_n ight)$ là dãy số giảm. c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}$ $=(-1)^{n}\left( \frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} ight)$ Rõ ràng hiệu này dương hay âm phụ thuộc vào $n$, cụ thể là dương khi $n$ chẵn và âm khi $n$ lẻ. Do đó dãy số $\left( u_n ight)$ không tăng cũng không giảm.

Bài tự luận Dãy số · Bài 19