(CTST11) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau:
a) $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$
b) $u_n=\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}$
c) $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^{2}}}$

Question

Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=f(n)$ là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f(n)\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ hoặc $u_n=f(n)\geq m,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 2: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1+v_2+\ldots+v_k+\ldots+v_n$ (tổng hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq a_k-a_{k+1}$ Lúc đó $u_n\leq \left( a_1-a_2 \right)+\left( a_2-a_3 \right)+\ldots\left( a_n-a_{n+1} \right)$ Suy ra $u_n\leq a_1-a_{n+1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 3: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1.v_2v_3\ldots v_n$ với $v_n>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ (tích hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq \frac{a_{k+1}}{a_k}$ Lúc đó $u_n\leq \frac{a_2}{a_1}.\frac{a_3}{a_2}\ldots\frac{a_{n+1}}{a_n}$ Suy ra $u_n\leq \frac{a_{n+1}}{a_1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số $(u_n)$ giảm thì bị chặn trên, dãy số $(u_n)$ tăng thì bị chặn dưới (CTST11) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( u_n \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau: a) $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$ b) $u_n=\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}$ c) $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^{2}}}$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $u_{n+1}>u_n,\forall n\geq 1,n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $\left( u_n ight)$ là dãy số tăng. Mặt khác, ta có: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}$, suy ra $-11\leq u_n<\frac{2}{3},\forall n\in\mathbb{N}^{*}$, suy ra $\left( u_n ight)$ là dãy số bị chặn. b) Ta có: $\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n & =\frac{(n+1)^{2}+3(n+1)+1}{n+2}-\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}=\frac{n^{2}+5n+5}{n+2}-\frac{n^{2}+3n+1}{n+1} \ & =\frac{\left( n^{2}+5n+5 ight)(n+1)-\left( n^{2}+3n+1 ight)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \ & =\frac{n^{2}+3n+3}{(n+1)(n+2)}>0,\forall n\in\mathbb{N}^{*}. \ \end{array}$ Suy ra $u_{n+1}>u_n,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $\left( u_n ight)$ là dãy số tăng. Mặt khác, ta có $u_n>\frac{n^{2}+2n+1}{n+1}=n+1\geq 2,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $\left( u_n ight)$ là dãy số bị chặn dưới. c) Ta có $u_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{(n+1)^{2}+(n+1)+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}}}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}}{\sqrt{(n+1)^{2}+(n+1)+1}}=\sqrt{\frac{n^{2}+n+1}{n^{2}+3n+3}}<1,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Suy ra $u_{n+1}

Bài tự luận Dãy số · Bài 25