Bài tập nâng cao · Bài 88
7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 88
Giải bất phương trình sau: $2\cos 2x+\sin^{2}x\cos x+\sin x\cos^{2}x>2\left( \sin x+\cos x \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
Bpt $\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left[ 2\left( \cos x-\sin x \right)+\sin x\cos x-2 \right]>0$
Đặt $f\left( x \right)=\left( \sin x+\cos x \right)\left[ 2\left( \cos x-\sin x \right)+\sin x\cos x-2 \right]$.
Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ $2\pi$ nên ta chỉ cần xét dấu của $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left[ 0;2\pi \right]$.
Ta có: $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\cos x=0\left( 1 \right) \\ 2\left( \cos x-\sin x \right)+\sin x\cos x-2=0\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Với (1): $\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{7\pi}{4} \\ x=\frac{3\pi}{4} \end{array} \right.$.
Với (2): Đặt $t=\cos x-\sin x,\left| t \right|\leq \sqrt{2}$. Phương trình trở thành:
$2t+\frac{1-t^{2}}{2}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t=3\left( l \right) \end{array} \right.$.
Suy ra $\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac{3\pi}{2} \end{array} \right.$.
Lập bảng xét dấu của $f\left( x \right)$ trên $\left[ 0;2\pi \right]$ sẽ ra nghiệm của bất phương trình là:
$\left[ \begin{array}{l} \frac{3\pi}{4}+k2\pi < x < \frac{3\pi}{2}+k2\pi \\ \frac{7\pi}{4}+k2\pi < x < 2\pi+k2\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
Đặt $f\left( x \right)=\left( \sin x+\cos x \right)\left[ 2\left( \cos x-\sin x \right)+\sin x\cos x-2 \right]$.
Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ $2\pi$ nên ta chỉ cần xét dấu của $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left[ 0;2\pi \right]$.
Ta có: $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\cos x=0\left( 1 \right) \\ 2\left( \cos x-\sin x \right)+\sin x\cos x-2=0\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Với (1): $\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{7\pi}{4} \\ x=\frac{3\pi}{4} \end{array} \right.$.
Với (2): Đặt $t=\cos x-\sin x,\left| t \right|\leq \sqrt{2}$. Phương trình trở thành:
$2t+\frac{1-t^{2}}{2}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t=3\left( l \right) \end{array} \right.$.
Suy ra $\cos\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac{3\pi}{2} \end{array} \right.$.
Lập bảng xét dấu của $f\left( x \right)$ trên $\left[ 0;2\pi \right]$ sẽ ra nghiệm của bất phương trình là:
$\left[ \begin{array}{l} \frac{3\pi}{4}+k2\pi < x < \frac{3\pi}{2}+k2\pi \\ \frac{7\pi}{4}+k2\pi < x < 2\pi+k2\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right)$.