Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 35

Ta có $C_n^2+\frac{A_n^3}{n}=70\Leftrightarrow\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n-1)(n-2)}n=70\Leftrightarrow3n^2-7n-136=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}n=8\\n=-\frac{17}{3}\text{ (l)}\end{array}\right.$
Vậy bài toán trở thành tìm số hạng chứa $x^2$ trong khai triển $P(x)=(3+x-x^2)^n$
Ta có: $(3+x-x^2)^8=[(x+3)-x^2]^8=\sum_{k=0}^8C_8^k(x+3)^{8-k}(-x^2)^k$
Các hạng tử tạo thành số hạng chứa $x^2$ chỉ tồn tại trong số hạng thứ nhất và thứ hai của khai triển trên là $C_8^0(x+3)^8$ và $C_8^1(x+3)^7x^2$
Vậy số hạng chứa $x^2$ là: $C_8^0C_8^6x^23^6-C_8^1C_7^73^7x^2=2916x^2$
Hoặc giải như sau:
$(3+x-x^2)^8=[3+(x-x^2)]^8=\sum_{k=0}^8C_8^k3^{8-k}(x-x^2)^k$
$=\sum_{k=0}^8C_8^k3^{8-k}\sum_{i=0}^kC_k^i(-1)^ix^{k+i}=\sum_{k=0}^8\sum_{i=0}^kC_8^k3^{8-k}C_k^i(-1)^ix^{k+i}$
Số hạng chứa $x^2$ khi $\left\{\begin{array}{l}0\leq i\leq k\leq8\\k+i=2\\k,i\in N\end{array}\right.\Leftrightarrow(k;i)=\left\{\begin{array}{l}(1;1),\,(2;0)\end{array}\right\}$
Vậy số hạng chứa $x^2$ là: $C_8^2C_2^03^6x^2-C_8^1C_1^13^7x^2=2916x^2$.