Bài tập nâng cao · Bài 34
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 34
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{20}-1$. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{15}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức $\left(x^2-x+\frac14\right)^3(2x-1)^{2n}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$(1+1)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n+C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+\ldots+C_{2n+1}^{2n+1}=2(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n)$
Do đó: $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{2n}\Leftrightarrow C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1$
Theo bài ra: $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\Leftrightarrow2^{2n}-1=2^{20}-1\Leftrightarrow n=10$.
Xét đa thức: $P(x)=\left(x^2-x+\frac14\right)^3=\left(x-\frac12\right)^6=\sum_{k=0}^6C_6^kx^k\left(-\frac12\right)^{6-k}$
Xét đa thức $Q(x)=(2x-1)^{20}=\sum_{m=0}^{20}C_{20}^m(2x)^m(-1)^{20-m}=\sum_{m=0}^{20}C_{20}^m2^m(-1)^{20-m}x^m$
Số hạng chứa $x^{15}$ ứng với $\left\{\begin{array}{l}k+m=15\\0\leq k\leq6\\0\leq m\leq20\end{array}\right.$.
Các bộ số $(k,m)$ thỏa mãn là: $(0,15)$, $(1,14)$, $(2,13)$, $(3,12)$, $(4,11)$, $(5,10)$, $(6,9)$.
Hệ số của $x^{15}$ là:
$C_6^0\left(-\frac12\right)^6C_{20}^{15}2^{15}(-1)^5+C_6^1\left(-\frac12\right)^5C_{20}^{14}2^{14}(-1)^6+C_6^2\left(-\frac12\right)^4C_{20}^{13}2^{13}(-1)^7$
$+C_6^3\left(-\frac12\right)^3C_{20}^{12}2^{12}(-1)^8+C_6^4\left(-\frac12\right)^2C_{20}^{11}2^{11}(-1)^9$
$+C_6^5\left(-\frac12\right)C_{20}^{10}2^{10}(-1)^{10}+C_6^6C_{20}^92^9(-1)^{11}$
$=-\frac1{64}\cdot2^{15}\cdot7726160=-\frac1{64}\cdot C_{26}^{11}\cdot2^{15}$
$(1+1)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n+C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+\ldots+C_{2n+1}^{2n+1}=2(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n)$
Do đó: $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{2n}\Leftrightarrow C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1$
Theo bài ra: $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\ldots+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\Leftrightarrow2^{2n}-1=2^{20}-1\Leftrightarrow n=10$.
Xét đa thức: $P(x)=\left(x^2-x+\frac14\right)^3=\left(x-\frac12\right)^6=\sum_{k=0}^6C_6^kx^k\left(-\frac12\right)^{6-k}$
Xét đa thức $Q(x)=(2x-1)^{20}=\sum_{m=0}^{20}C_{20}^m(2x)^m(-1)^{20-m}=\sum_{m=0}^{20}C_{20}^m2^m(-1)^{20-m}x^m$
Số hạng chứa $x^{15}$ ứng với $\left\{\begin{array}{l}k+m=15\\0\leq k\leq6\\0\leq m\leq20\end{array}\right.$.
Các bộ số $(k,m)$ thỏa mãn là: $(0,15)$, $(1,14)$, $(2,13)$, $(3,12)$, $(4,11)$, $(5,10)$, $(6,9)$.
Hệ số của $x^{15}$ là:
$C_6^0\left(-\frac12\right)^6C_{20}^{15}2^{15}(-1)^5+C_6^1\left(-\frac12\right)^5C_{20}^{14}2^{14}(-1)^6+C_6^2\left(-\frac12\right)^4C_{20}^{13}2^{13}(-1)^7$
$+C_6^3\left(-\frac12\right)^3C_{20}^{12}2^{12}(-1)^8+C_6^4\left(-\frac12\right)^2C_{20}^{11}2^{11}(-1)^9$
$+C_6^5\left(-\frac12\right)C_{20}^{10}2^{10}(-1)^{10}+C_6^6C_{20}^92^9(-1)^{11}$
$=-\frac1{64}\cdot2^{15}\cdot7726160=-\frac1{64}\cdot C_{26}^{11}\cdot2^{15}$