Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 33
Cho tập $A$ gồm $20$ phần tử. Có bao nhiêu tập con của $A$ khác rỗng và số phần tử là số chẵn.
Xem lời giải
Lời giải
Số tập con của $A$ khác rỗng và có số phần tử là số chẵn là: $n(A)=C_{20}^2+C_{20}^4+\ldots+C_{20}^{20}$.
Xét biểu thức:
$(1+1)^{20}=C_{20}^0+C_{20}^1+\ldots+C_{20}^{19}+C_{20}^{20}$ (1).
$(1-1)^{20}=C_{20}^0-C_{20}^1+\ldots-C_{20}^{19}+C_{20}^{20}$ (2).
Cộng (1) và (2) theo vế, ta có
$2^{20}=2(C_{20}^0+C_{20}^2+\ldots+C_{20}^{18}+C_{20}^{20})\Leftrightarrow C_{20}^2+C_{20}^4+\ldots+C_{20}^{18}+C_{20}^{20}=2^{19}-1$.
Vậy $n(A)=2^{19}-1$.
Xét biểu thức:
$(1+1)^{20}=C_{20}^0+C_{20}^1+\ldots+C_{20}^{19}+C_{20}^{20}$ (1).
$(1-1)^{20}=C_{20}^0-C_{20}^1+\ldots-C_{20}^{19}+C_{20}^{20}$ (2).
Cộng (1) và (2) theo vế, ta có
$2^{20}=2(C_{20}^0+C_{20}^2+\ldots+C_{20}^{18}+C_{20}^{20})\Leftrightarrow C_{20}^2+C_{20}^4+\ldots+C_{20}^{18}+C_{20}^{20}=2^{19}-1$.
Vậy $n(A)=2^{19}-1$.