Bài tập nâng cao · Bài 32
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 32
Hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển của biểu thức $P(x)=(1+2x^2)^{12}$ thành đa thức là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $(1+2x^2)^{12}=\sum_{k=0}^{12}C_{12}^k2^kx^{2k}$.
Xét số hạng tổng quát của khai triển $(1+2x^2)^{12}$
$T_{k+1}=C_{12}^k2^kx^{2k}$ với $\left\{\begin{array}{l}0\leq k\leq12\\k\in\mathbb N\end{array}\right.$ $(*)$
Ta có hệ số $a_k=2^kC_{12}^k=2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}$
Hệ số $a_k$ lớn nhất nên $\left\{\begin{array}{l}a_k\geq a_{k-1}\\a_k\geq a_{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^kC_{12}^k\geq2^{k-1}C_{12}^{k-1}\\2^kC_{12}^k\geq2^{k+1}C_{12}^{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}\geq2^{k-1}\cdot\frac{12!}{(k-1)!\cdot(12-k+1)!}\\2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}\geq2^{k+1}\cdot\frac{12!}{(k+1)!\cdot(12-k-1)!}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac2k\geq\frac1{13-k}\\\frac1{12-k}\geq\frac2{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}26-2k\geq k\\k+1\geq24-2k\end{array}\right.\Leftrightarrow\frac{23}{3}\leq k\leq\frac{26}{3}$. Vì $k\in\mathbb Z$ nên $k=8$.
Kết luận: Hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển $P(x)=(1+2x^2)^{12}$ là $C_{12}^82^8=495\cdot2^8=126720$.
Xét số hạng tổng quát của khai triển $(1+2x^2)^{12}$
$T_{k+1}=C_{12}^k2^kx^{2k}$ với $\left\{\begin{array}{l}0\leq k\leq12\\k\in\mathbb N\end{array}\right.$ $(*)$
Ta có hệ số $a_k=2^kC_{12}^k=2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}$
Hệ số $a_k$ lớn nhất nên $\left\{\begin{array}{l}a_k\geq a_{k-1}\\a_k\geq a_{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^kC_{12}^k\geq2^{k-1}C_{12}^{k-1}\\2^kC_{12}^k\geq2^{k+1}C_{12}^{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}\geq2^{k-1}\cdot\frac{12!}{(k-1)!\cdot(12-k+1)!}\\2^k\cdot\frac{12!}{k!\cdot(12-k)!}\geq2^{k+1}\cdot\frac{12!}{(k+1)!\cdot(12-k-1)!}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac2k\geq\frac1{13-k}\\\frac1{12-k}\geq\frac2{k+1}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}26-2k\geq k\\k+1\geq24-2k\end{array}\right.\Leftrightarrow\frac{23}{3}\leq k\leq\frac{26}{3}$. Vì $k\in\mathbb Z$ nên $k=8$.
Kết luận: Hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển $P(x)=(1+2x^2)^{12}$ là $C_{12}^82^8=495\cdot2^8=126720$.