Bài tập nâng cao · Bài 36
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 36
Biết $6C_{2021}^0+7C_{2021}^1+8C_{2021}^2+9C_{2021}^3+\ldots+2027C_{2021}^{2021}=a\cdot b^c$ với $a,b,c\in\mathbb N$ và $a,b$ là số nhỏ nhất. Khi đó giá trị $a+b-c$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $(1+x)^{2021}=C_{2021}^0+xC_{2021}^1+x^2C_{2021}^2+\ldots+x^{2021}C_{2021}^{2021}$
Suy ra $x^6(1+x)^{2021}=x^6C_{2021}^0+x^7C_{2021}^1+x^8C_{2021}^2+\ldots+x^{2027}C_{2021}^{2021}$
Đạo hàm cấp $1$ hai ta được:
$6x^5(1+x)^{2021}+x^6\cdot2021\cdot(1+x)^{2020}=6x^5C_{2021}^0+7x^6C_{2021}^1+8x^7C_{2021}^2+\ldots+2027x^{2026}C_{2021}^{2021}\,\,(1)$
Chọn $x=1$ ta có $(1)$ trở thành:
$6C_{2021}^0+7C_{2021}^1+8C_{2021}^2+9C_{2021}^3+\ldots+2027C_{2021}^{2021}=6\cdot2^{2021}+2021\cdot2^{2020}=2033\cdot2^{2020}$
Do đó: $a=2033;$ $b=2;\,c=2020$
Vậy $a+b-c=2033+2-2020=15$.
Suy ra $x^6(1+x)^{2021}=x^6C_{2021}^0+x^7C_{2021}^1+x^8C_{2021}^2+\ldots+x^{2027}C_{2021}^{2021}$
Đạo hàm cấp $1$ hai ta được:
$6x^5(1+x)^{2021}+x^6\cdot2021\cdot(1+x)^{2020}=6x^5C_{2021}^0+7x^6C_{2021}^1+8x^7C_{2021}^2+\ldots+2027x^{2026}C_{2021}^{2021}\,\,(1)$
Chọn $x=1$ ta có $(1)$ trở thành:
$6C_{2021}^0+7C_{2021}^1+8C_{2021}^2+9C_{2021}^3+\ldots+2027C_{2021}^{2021}=6\cdot2^{2021}+2021\cdot2^{2020}=2033\cdot2^{2020}$
Do đó: $a=2033;$ $b=2;\,c=2020$
Vậy $a+b-c=2033+2-2020=15$.