Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 34
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm $ 2 $học sinh lớp $ 12A $, $ 3 $học sinh lớp $ 12B $và $ 5 $học sinh lớp $ 12C $thành một hàng ngang. Xác suất để không có một học sinh lớp $ 12B $nào xếp giữa hai học sinh lớp $ 12A $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Số cách xếp $ 10 $học sinh là $ 10!\Rightarrow n\left ( { Ω } \right )=10! $.
Ta đi tìm số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Trước tiên xếp 2 học sinh lớp $ 12A $có $ 2! $cách.
Vì giữa 2 học sinh lớp $ 12A $ không có học sinh lớp $ 12B $nên chỉ có thể xếp học sinh lớp $ 12C $vào giữa hai học sinh lớp $ 12A $.
Vậy chọn $ k\in \left \{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4,5 \end{array} \right \} $học sinh lớp $ 12C $ rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp $ 12A $có $ A_{ 5 } ^{ k } $cách ta được một nhóm $ X $.
Xếp $ 10-\left ( { 2+k } \right )=8-k $ học sinh còn lại với nhóm $ X $có $ \left ( { 9-k } \right )! $cách.
Vậy có $ \sum \limits_{ k=0 } ^ 5 { 2!.A_{ 5 } ^{ k } }\left ( { 9-k } \right )!=1451520 $cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính $ P=\frac { 1451520 } { 10! }=\frac { 2 } { 5 } $.
Ta đi tìm số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Trước tiên xếp 2 học sinh lớp $ 12A $có $ 2! $cách.
Vì giữa 2 học sinh lớp $ 12A $ không có học sinh lớp $ 12B $nên chỉ có thể xếp học sinh lớp $ 12C $vào giữa hai học sinh lớp $ 12A $.
Vậy chọn $ k\in \left \{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4,5 \end{array} \right \} $học sinh lớp $ 12C $ rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp $ 12A $có $ A_{ 5 } ^{ k } $cách ta được một nhóm $ X $.
Xếp $ 10-\left ( { 2+k } \right )=8-k $ học sinh còn lại với nhóm $ X $có $ \left ( { 9-k } \right )! $cách.
Vậy có $ \sum \limits_{ k=0 } ^ 5 { 2!.A_{ 5 } ^{ k } }\left ( { 9-k } \right )!=1451520 $cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính $ P=\frac { 1451520 } { 10! }=\frac { 2 } { 5 } $.