Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 6

Gọi $K$ là trung điểm của $AB$ và $H$ là hình chiếu của $C$ lên $SB$.
Xét $\Delta SAB$, ta có $\left\{ \begin{array}{l} CK\perp AB \\ CK\perp SA \end{array} \right.$ $\Rightarrow CK\perp SB$.
Xét $\Delta CHK$, ta có $\left\{ \begin{array}{l} SB\perp CH \\ SB\perp CK \end{array} \right.$ $\Rightarrow HK\perp SB$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \left( SAB \right)\cap\left( SBC \right)=SB \\ CH\perp SB \\ HK\perp SB \end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBA \right)$ và $\left( SBC \right)$ là góc $\widehat{CHK}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AC=a\sqrt{2} \\ BC=a\sqrt{2} \\ KB=a \end{array} \right.$ suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} CB\perp AC \\ CB\perp SA \end{array} \right.$ $\Rightarrow CB\perp SC$ nên $\frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{CB^{2}}+\frac{1}{CS^{2}}$ $\Rightarrow CH=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.
Mặt khác $CK=AD=a$.
Xét tam giác $CHK$ vuông tại $K$ có $\sin\widehat{CHK}=\frac{CK}{CH}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \widehat{CHK}=60^{\circ}$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBA \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60^{\circ}$.