Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 4

Gọi là $\left( \alpha \right)$ mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB\Rightarrow\left( \alpha \right)\cap\left( ABC \right)=Bt\parallel AC$.
Gọi là $\left( \beta \right)$ mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC\Rightarrow\left( \beta \right)\cap\left( ABC \right)=Ct'\parallel AB$.
Khi đó $\left( \alpha \right)\cap\left( \beta \right)=SH$ với $H=Bt\cap Ct'$ là đỉnh thứ 4 của hình vuông $ABHC$.
Khi đó $\Delta SAB,\,\Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB=SC=a\sqrt{3},\,SA=2a$.
Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác $SAB$ ta có $BI\perp SA,\,CI\perp SA$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $IB$ và $IC$.
Xét tam giác cân $IBC$ có $IB=IC=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,BC=a\sqrt{2}$.
Ta có $\cos\widehat{BIC}=\frac{IB^{2}+IC^{2}-BC^{2}}{2.IB.IC}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-2a^{2}}{2\frac{3a^{2}}{4}}=-\frac{1}{3}$.
Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng $IB$ và $IC$ bằng $\frac{1}{3}$ tức là côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ bằng $\frac{1}{3}$.