Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 7

Ta có tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác $AB'I$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$, nên gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB'I \right)$ và $\left( ABC \right)$ thì $\cos\varphi=\frac{S_{ABC}}{S_{AB'I}}$.
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin\widehat{BAC}=\frac{1}{2}2a.2a.\sin 120^{\circ}=a^{2}\sqrt{3}\,\left( 1 \right)$.
Áp dụng định lý côsin cho tam giác $ABC$ ta có:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.\cos\widehat{BAC}=12a^{2}\Rightarrow BC=2a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $C'B'I$ ta có:
$B'I=\sqrt{C'I^{2}+C'B'^{2}}=a\sqrt{13}$.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ACI$ ta có:
$AI=\sqrt{CI^{2}+AC^{2}}=a\sqrt{5}$.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABB'$ ta có:
$AB'=\sqrt{AB^{2}+BB'^{2}}=2a\sqrt{2}$.
Nhận thấy: $AI^{2}+AB'^{2}=B'I^{2}$ nên tam giác $AB'I$ vuông tại $A$. Do đó:
$S_{AB'I}=\frac{1}{2}AI.AB'=\frac{1}{2}a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=a^{2}\sqrt{10}\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\cos\varphi=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{a^{2}\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$.