Giải PT sau: $ \sin^{2}x+\sin^{2}3x-3\cos^{2}2x=0 $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải PT sau: $ \sin^{2}x+\sin^{2}3x-3\cos^{2}2x=0 $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $ \begin{array}{l} \sin^{2}x+\sin^{2}3x-3\cos^{2}2x=0 \ \Leftrightarrow \frac{1-\cos2x}{2}+\frac{1-\cos6x}{2}-3\cos^{2}2x=0 \ \Leftrightarrow 2-\cos2x-\left( 4\cos^{3}2x-3\cos2x ight)-6\cos^{2}2x=0 \end{array} $ Đặt: $ t=\cos2x;\quad -1\leq t\leq1 $ ta được: $ \begin{array}{l} 2t^{3}+3t^{2}-t-1=0\Leftrightarrow \left( 2t+1 ight)\left( t^{2}+t-1 ight)=0 \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-\frac{1}{2}\left( * ight) \ t^{2}+t-1=0\left( ** ight) \end{array} ight. \ \left( * ight)\Leftrightarrow \cos2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi \ \left( ** ight)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left( L ight) \ t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\cos\alpha \end{array} ight. \ \cos2x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\frac{\alpha}{2}+k\pi \end{array} $ Vậy $ x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi $ và $ x=\pm\frac{\alpha}{2}+k\pi $ với $ k\in\mathbb{Z} $ và góc $ \alpha $ là góc có $ \cos\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $.

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 26