Bài tập nâng cao · Bài 28
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 28
a) $y=\cos x-2\sin x+3$
b) $y=\sin 2x+\cos^{2}x-1$
c) $y=\frac{3\sin x+2\cos x+7}{2\sin x+3\cos x+5}$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $\sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}};\cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y=\sqrt{5}\left( \sin\alpha \cos x-\cos\alpha \sin x \right)+3 \\ \Rightarrow y=\sqrt{5}\sin\left( \alpha -x \right)+3 \end{array}$
Do $\begin{array}{l} -1\leq \sin\left( \alpha -x \right)\leq 1 \\ \Rightarrow -\sqrt{5}+3\leq \sqrt{5}\sin\left( \alpha -x \right)+3\leq \sqrt{5}+3 \\ \Rightarrow -\sqrt{5}+3\leq y\leq \sqrt{5}+3 \\ \Rightarrow \min y=-\sqrt{5}+3\ \text{khi}\ \sin\left( \alpha -x \right)=-1 \\ \Rightarrow \max y=\sqrt{5}+3\ \text{khi}\ \sin\left( \alpha -x \right)=1 \end{array}$
b) $\begin{array}{l} y=\sin 2x+\cos^{2}x-1 \\ y=\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\sin 2x+\frac{\cos 2x}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2y=2\sin 2x+\cos 2x-1=\sqrt{5}\left( \frac{2}{\sqrt{5}}\sin 2x+\frac{\cos 2x}{\sqrt{5}} \right)-1 \end{array}$
Đặt $\sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}};\cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 2y=\sqrt{5}\left( \sin\alpha \cos 2x+\cos\alpha \sin 2x \right)-1 \\ \Rightarrow 2y=\sqrt{5}\sin\left( \alpha +2x \right)-1 \end{array}$
Do $\begin{array}{l} -1\leq \sin\left( \alpha +2x \right)\leq 1 \\ \Rightarrow -\sqrt{5}-1\leq \sqrt{5}\sin\left( \alpha +2x \right)-1\leq \sqrt{5}-1 \\ \Rightarrow \frac{-\sqrt{5}-1}{2}\leq y\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \Rightarrow \min y=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\ \text{khi}\ \sin\left( \alpha +2x \right)=-1 \\ \Rightarrow \max y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\ \text{khi}\ \sin\left( \alpha +2x \right)=1 \end{array}$
c) $\begin{array}{l} y=\frac{3\sin x+2\cos x+7}{2\sin x+3\cos x+5} \\ \Leftrightarrow 2y\sin x+3y\cos x+5y=3\sin x+2\cos x+7 \\ \Leftrightarrow \left( 2y-3 \right)\sin x+\left( 3y-2 \right)\cos x=7-5y \\ \forall y\in\mathbb{R}\ \text{sao cho pt sau} \\ \left( 2y-3 \right)\sin x+\left( 3y-2 \right)\cos x=7-5y\ \text{co nghiem}\ x\in\mathbb{R} \\ \left( 2y-3 \right)^{2}+\left( 3y-2 \right)^{2}\geq \left( 7-5y \right)^{2} \\ \Leftrightarrow 13y^{2}-24y+13\geq 25y^{2}-70y+49 \\ \Leftrightarrow 6y^{2}-23y+18\leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{23-\sqrt{97}}{12}\leq y\leq \frac{23+\sqrt{97}}{12} \\ \Rightarrow \max y=\frac{23+\sqrt{97}}{12};\min y=\frac{23-\sqrt{97}}{12} \end{array}$
Tại các giá trị x tương ứng