Bài tập nâng cao · Bài 24
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 24
Hai bạn Đại và Học viết ngẫu nhiên mỗi người một số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau đôi một. Xác suất để hai bạn đó viết ra hai số có đúng hai chữ số giống nhau và chúng ở cùng hàng tương ứng là:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $n\left( { \Omega } \right)=\left( { 9.{ \rm{ A } }_{9} ^{3} } \right) ^{2}$.
Gọi ${ \rm{ A } }$ là biến cố “Đại và Học viết ra hai số có đúng hai chữ số giống nhau và chúng ở cùng hàng tương ứng”
Giả sử Đại viết $abcd$, Học viết $xyzt$.
TH1: Có một chữ số giống nhau ở hàng ngàn.
Chọn $x=a\neq 0$ có 9 cách.
Chọn thêm một số giống nhau và xếp vào một trong ba hàng còn lại có $9.3=27$ cách.
Chọn bốn số còn lại có ${ \rm{ A } }_{8} ^{4}$ cách.
Do đó TH1 có $9.27.A_{8} ^{4}$ cách.
TH2: Không có chữ số nào giống nhau ở hàng ngàn.
Chọn $a,x$ có ${ \rm{ A } }_{9} ^{2}$ cách.
Chọn và xếp hai chữ số giống nhau có ${ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}$ cách.
Chọn hai số cho hai vị trí còn lại của hai số có ${ \rm{ A } }_{6} ^{2}$ cách.
Do đó TH2 có ${ \rm{ A } }_{9} ^{2}.{ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}.{ \rm{ A } }_{6} ^{2}$ cách.
Vậy ${ \rm{ P } }\left( { { \rm{ A } } } \right)=\frac { 9.27.{ \rm{ A } }_{8} ^{4}+{ \rm{ A } }_{9} ^{2}.{ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}.{ \rm{ A } }_{6} ^{2} } { \left( { 9.{ \rm{ A } }_{9} ^{3} } \right) ^{2} }=\frac{85}{2268}$.
Gọi ${ \rm{ A } }$ là biến cố “Đại và Học viết ra hai số có đúng hai chữ số giống nhau và chúng ở cùng hàng tương ứng”
Giả sử Đại viết $abcd$, Học viết $xyzt$.
TH1: Có một chữ số giống nhau ở hàng ngàn.
Chọn $x=a\neq 0$ có 9 cách.
Chọn thêm một số giống nhau và xếp vào một trong ba hàng còn lại có $9.3=27$ cách.
Chọn bốn số còn lại có ${ \rm{ A } }_{8} ^{4}$ cách.
Do đó TH1 có $9.27.A_{8} ^{4}$ cách.
TH2: Không có chữ số nào giống nhau ở hàng ngàn.
Chọn $a,x$ có ${ \rm{ A } }_{9} ^{2}$ cách.
Chọn và xếp hai chữ số giống nhau có ${ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}$ cách.
Chọn hai số cho hai vị trí còn lại của hai số có ${ \rm{ A } }_{6} ^{2}$ cách.
Do đó TH2 có ${ \rm{ A } }_{9} ^{2}.{ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}.{ \rm{ A } }_{6} ^{2}$ cách.
Vậy ${ \rm{ P } }\left( { { \rm{ A } } } \right)=\frac { 9.27.{ \rm{ A } }_{8} ^{4}+{ \rm{ A } }_{9} ^{2}.{ \rm{ C } }_{8} ^{2}.{ \rm{ A } }_{3} ^{2}.{ \rm{ A } }_{6} ^{2} } { \left( { 9.{ \rm{ A } }_{9} ^{3} } \right) ^{2} }=\frac{85}{2268}$.