Bài tập nâng cao · Bài 25
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 25
Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lấy từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Tính xác suất $P$ để được một số chia hết cho $11$ và tổng của bốn chữ số của nó cũng chia hết cho $11$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số có bốn chữ số là $abcd$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \left( { 1000a+100b+10c+d } \right)\vdots 11 \\ \left( { a+b+c+d } \right)\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10a+b+10c+d\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9\left( { a+c } \right)\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ b+d\vdots 11 \end{array} \right.$.
Các bộ số có tổng các chữ số chia hết cho $11$ là $\left( { 2;9 } \right),\,\,\left( { 3;8 } \right),\,\,\left( { 4;7 } \right),\,\,\left( { 5;6 } \right)$.
Không gian mẫu: $n\left( { \Omega } \right)=A_{9} ^{4}=3024.$ Gọi $A$ là biến cố cần tìm xác suất.
Chọn $1$ bộ số sau đó đặt vào vị trí của $a,c$ có $4.2!$ cách.
Chọn $1$ bộ số trong ba bộ còn lại đặt vào vị trí của $b,d$ có $3.2!$ cách.
Suy ra $n\left( { A } \right)=4.2!.3.2!=48$.
Do đó: $P\left( { A } \right)=\frac{48}{3024}=\frac{1}{63}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \left( { 1000a+100b+10c+d } \right)\vdots 11 \\ \left( { a+b+c+d } \right)\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10a+b+10c+d\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9\left( { a+c } \right)\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ b+d\vdots 11 \end{array} \right.$.
Các bộ số có tổng các chữ số chia hết cho $11$ là $\left( { 2;9 } \right),\,\,\left( { 3;8 } \right),\,\,\left( { 4;7 } \right),\,\,\left( { 5;6 } \right)$.
Không gian mẫu: $n\left( { \Omega } \right)=A_{9} ^{4}=3024.$ Gọi $A$ là biến cố cần tìm xác suất.
Chọn $1$ bộ số sau đó đặt vào vị trí của $a,c$ có $4.2!$ cách.
Chọn $1$ bộ số trong ba bộ còn lại đặt vào vị trí của $b,d$ có $3.2!$ cách.
Suy ra $n\left( { A } \right)=4.2!.3.2!=48$.
Do đó: $P\left( { A } \right)=\frac{48}{3024}=\frac{1}{63}$.