Bài tập nâng cao · Bài 26
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 26
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}$ được tạo ra từ các chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\,,\,6$. Chọn nhẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất để chọn được số thỏa mãn điều kiện $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Do $0+\,1+\,2+\,3+\,4+5\,+6=21\vdots 3$ nên để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta phải bỏ bớt 1 chữ số chia hết cho 3 trong bộ các chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4,5\,,6$.
TH1: Bỏ 0. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{21}{3}=7$, suy ra các cặp số là $\left( { 1\,;6 } \right),\,\,\left( { 2\,;5 } \right),\,\,\left( { 3\,;\,4 } \right)$.
Khi đó, Xếp vị trí 3 bộ có $3!$ cách xếp, đổi vị trí 2 chữ số ở mỗi bộ có $\left( { 2! } \right) ^{3}$ cách.
Do đó có $3!.\left( { 2! } \right) ^{3} =48$ (số).
TH2: Bỏ 3. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{18}{3}=6$, suy ra các cặp số là $\left( { 0\,;\,6 } \right),\,\,\left( { 1\,;\,5 } \right),\,\,\left( { 2\,;\,\,4 } \right)$.
Giả sử $a_{1}$ bất kì ( có thể bằng 0), tương tự TH1 có 48 số.
Nếu $a_{1} =0\Rightarrow a_{2} =6$, 4 vị trí còn lại có $2!.\left( { 2! } \right) ^{2} =8$.
Do đó có $48-8=40$ số thỏa mãn.
TH3: Bỏ 6. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{15}{3}=5$, suy ra các cặp số là $\left( { 0;\,\,5 } \right),\,\,\left( { 1;\,4 } \right),\,\,\left( { 2,\,\,3 } \right)$.
Tương tự TH2, ta có 40 số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $48+40+40=128$ và xác suất cần tìm là: $P=\frac { 128 } { 6.A_{6} ^{5} }=\frac{4}{135}$.
TH1: Bỏ 0. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{21}{3}=7$, suy ra các cặp số là $\left( { 1\,;6 } \right),\,\,\left( { 2\,;5 } \right),\,\,\left( { 3\,;\,4 } \right)$.
Khi đó, Xếp vị trí 3 bộ có $3!$ cách xếp, đổi vị trí 2 chữ số ở mỗi bộ có $\left( { 2! } \right) ^{3}$ cách.
Do đó có $3!.\left( { 2! } \right) ^{3} =48$ (số).
TH2: Bỏ 3. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{18}{3}=6$, suy ra các cặp số là $\left( { 0\,;\,6 } \right),\,\,\left( { 1\,;\,5 } \right),\,\,\left( { 2\,;\,\,4 } \right)$.
Giả sử $a_{1}$ bất kì ( có thể bằng 0), tương tự TH1 có 48 số.
Nếu $a_{1} =0\Rightarrow a_{2} =6$, 4 vị trí còn lại có $2!.\left( { 2! } \right) ^{2} =8$.
Do đó có $48-8=40$ số thỏa mãn.
TH3: Bỏ 6. Ta có: $a_{1} +a_{2} =a_{3} +a_{4} =a_{5} +a_{6} =\frac{15}{3}=5$, suy ra các cặp số là $\left( { 0;\,\,5 } \right),\,\,\left( { 1;\,4 } \right),\,\,\left( { 2,\,\,3 } \right)$.
Tương tự TH2, ta có 40 số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $48+40+40=128$ và xác suất cần tìm là: $P=\frac { 128 } { 6.A_{6} ^{5} }=\frac{4}{135}$.