Một máng nước dài 6 mét có mặt cắt ngang đều là hình thang cân có đáy lớn dài 2 mét, hai cạnh bên và đáy bé có độ dài bằng nhau và bằng 1 mét. Nước rò rỉ từ đáy máng với tốc độ không đổi là $ 0,15 m ^ { 3 } $ mỗi phút. Tìm tốc độ mực nước giảm xuống tại thời điểm mực nước trong máng cao 20 cm (viết theo đơn vị cm/phút và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gợi ý: Tốc độ nước rò rỉ từ đáy máng bằng đạo hàm thể tích nước trong máng. Tốc độ mực nước giảm bằng đạo hàm của chiều cao nước trong máng. Khi đó, yêu cầu bài toán là Tính $ h ^ { ′ } (t) $ tại thời điểm $ h(t)=20 cm=0,2 m $. Ta dựng hình như hình sau. Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ, ta có Thể tích của máng nước $ = $ Diện tích đáy (đáy là hình thang cân) x Chiều cao $ ⇔V=\frac { 1 } { 2 }.h.(1+2x+1).6=3.h(2+2x)=3.h.2(1+x)=6h(1+x) $ (*) Xét tam giác vuông $ ABC $, ta có $ \sin \widehat { BAC }=\frac { BC } { AC }=\frac { 0,5 } { 1 }=\frac { 1 } { 2 }⇒ \widehat { BAC }=30 ^ { ° } $. (Dễ thấy tam giác $ AMN $ là tam giác vuông tại $ M $) Trong tam giác vuông $ AMN $, ta có $ \tan \widehat { BAC }=\frac { MN } { MA }=\frac { x } { h }⇔\tan30 ^ { ° } =\frac { x } { h } $ $ ⇔x=h.\tan30 ^ { ° } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }h $. Thay vào phương trình (*) ta được $ V(t)=6h(t)\left ( { 1+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }h(t) } \right )=6h(t)+2\sqrt[] { 3 }h ^ { 2 } (t) $. Theo giả thiết: Nước rò rỉ từ đáy máng với tốc độ không đổi là $ 0,15 m ^ { 3 } $ mỗi phút, ta có $ V ^ { ′ } (t)=0,15⇔\left ( { 6h(t)+2\sqrt[] { 3 }h ^ { 2 } (t) } \right ) ^ { ′ } =0,15 $ $ ⇔6h ^ { ′ } (t)+2\sqrt[] { 3 }⋅2⋅h ^ { ′ } (t)⋅h(t)=0,15⇔h ^ { ′ } (t)(6+4\sqrt[] { 3 }h(t))=0,15⇔h ^ { ′ } (t)=\frac { 0,15 } { 6+4\sqrt[] { 3 }h(t) } $ Thay $ h(t)=0,2 m $ vào biểu thức trên, ta được $ h ^ { ′ } (t)=\frac { 0,15 } { 6+4\sqrt[] { 3 }⋅0,2 }≈0,0203 $(m/phút) $ ≈2,03 $(cm/phút).