Bài tập nâng cao · Bài 40
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 40
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;-3 \right)$, $B\left( -3;2;1 \right)$. Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $M\left( 1;2;3 \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $A$ đến $\left( d \right)$ và từ $B$ đến $\left( d \right)$ là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $d\left ( { A,\left( d \right) } \right )\leq AM$, $d\left ( { B,\left( d \right) } \right )\leq BM$.
$d\left ( { A,\left( d \right) } \right )+d\left ( { B,\left( d \right) } \right )$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} AM\perp \left( d \right) \\ BM\perp \left( d \right) \end{array} \right.$.
$\overset\rightarrow { MA }=\left( 1;-1;-6 \right)$ và $\overset\rightarrow { MB }=\left( -4;0;-2 \right)$.
Khi đó $\left( d \right)$ có vecto chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { MA },\overset\rightarrow { MB } \right]=\left( 2;26;-4 \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 1;13;-2 \right)$.
Phương trình $\left( d \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{13}=\frac{z-3}{-2}$.
$d\left ( { A,\left( d \right) } \right )+d\left ( { B,\left( d \right) } \right )$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} AM\perp \left( d \right) \\ BM\perp \left( d \right) \end{array} \right.$.
$\overset\rightarrow { MA }=\left( 1;-1;-6 \right)$ và $\overset\rightarrow { MB }=\left( -4;0;-2 \right)$.
Khi đó $\left( d \right)$ có vecto chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { MA },\overset\rightarrow { MB } \right]=\left( 2;26;-4 \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 1;13;-2 \right)$.
Phương trình $\left( d \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{13}=\frac{z-3}{-2}$.