Bài tập nâng cao · Bài 41
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 41
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1\,;\,2\,;\,-3 \right)$ và mp $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với mp $\left( Q \right):3x+4y-4z+5=0$, cắt mp $\left( P \right)$ tại $B$. Điểm $M$ nằm trong mp $\left( P \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn $AB$ dưới góc vuông. Tính độ dài lớn nhất của $MB$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với mp $\left( Q \right):3x+4y-4z+5=0\Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+4t \\ z=-3-4t \end{array} \right.$
$B$ là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow B\left( -2\,;\,-2\,;\,1 \right)$.
$\widehat { AMB }=90°\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$.
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
$\Rightarrow BM$ lớn nhất bằng đường kính của đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,-1 \right)$, bán kính $R=\frac{\sqrt{41}}{2}$.
$d\left ( { I\,,\,\left( P \right) } \right )=3$.
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là: $r=\sqrt{R^{2} -d^{2} \left ( { I\,,\,\left( P \right) } \right ) }=\sqrt{\frac{41}{4}-9 }=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $BM$ lớn nhất bằng $2r=\sqrt{5}$.
$B$ là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow B\left( -2\,;\,-2\,;\,1 \right)$.
$\widehat { AMB }=90°\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$.
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
$\Rightarrow BM$ lớn nhất bằng đường kính của đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,-1 \right)$, bán kính $R=\frac{\sqrt{41}}{2}$.
$d\left ( { I\,,\,\left( P \right) } \right )=3$.
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là: $r=\sqrt{R^{2} -d^{2} \left ( { I\,,\,\left( P \right) } \right ) }=\sqrt{\frac{41}{4}-9 }=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $BM$ lớn nhất bằng $2r=\sqrt{5}$.