Bài tập nâng cao · Bài 42
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 42
Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 3;0;0 \right),\,B\left( 0;2;0 \right),\,C\left( 0;0;6 \right)$ và $D\left( 1;1;1 \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta$ là lớn nhất. Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua 3 điểm $A,B,C$
Ta có phương trình của $\left( P \right)$: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 2x+3y+z-6=0$
Ta thấy $D\left( 1;1;1 \right)\in \left( P \right)$
Gọi $H,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên $\Delta$
Khi đó: $AH\leq AD,BJ\leq BD,CK\leq CD$ Suy ra tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta$ là lớn nhất bằng $AD+BD+CD$ hay $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $\left( P \right)$
Suy ra phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=1+3t \\ z=1+t \\ \end{array} \end{array} \right.$ khi đó $\Delta$ đi qua $M\left( 5;7;3 \right)$
Ta có phương trình của $\left( P \right)$: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 2x+3y+z-6=0$
Ta thấy $D\left( 1;1;1 \right)\in \left( P \right)$
Gọi $H,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên $\Delta$
Khi đó: $AH\leq AD,BJ\leq BD,CK\leq CD$ Suy ra tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta$ là lớn nhất bằng $AD+BD+CD$ hay $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $\left( P \right)$
Suy ra phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=1+3t \\ z=1+t \\ \end{array} \end{array} \right.$ khi đó $\Delta$ đi qua $M\left( 5;7;3 \right)$