Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 43

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$. Từ $H$ kẻ $HM\perp d$. Dễ thấy $AM\perp d$.
Ta có $AH\leq AM$. Suy ra khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất khi $M≡H$, hay $AM\perp \left( P \right)$.
Phương trình tham số của $d$: $\left\{ \begin{array}{l} x=-1-2t \\ y=t \\ z=1+t \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$, véc-tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left( -2;\,1;\,1 \right)$.
$M\in d\Rightarrow M\left( -1-2t;\,t;\,1+t \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( 2+2t;\,2-t;\,2-t \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }\perp \overset\rightarrow { u }\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow \left( -2 \right).\left( 2+2t \right)+1.\left( 2-t \right)+1.\left( 2-t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Suy ra $M\left( -1;\,0;\,1 \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( 2;\,2;\,2 \right)$.
Do $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;\,1;\,1 \right)$ cùng hướng với $\overset\rightarrow { MA }$ nên $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;\,1;\,1 \right)$ là một véc-tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.