Bài tập nâng cao · Bài 44
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 44
Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và $\Delta '=\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$. Xét điểm $M$ thay đổi. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ M đến $\Delta$ và $\Delta '$. Biểu thức $a^{2} +2b^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M≡M_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right)$. Khi đó giá trị $x_{0}+y_{0}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $PQ$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$
Với $P\in \Delta$ và $Q\in \Delta '$ có $P\left( 0,0,1 \right)$ và $Q\left( 1,0,0 \right)$. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$
Khi đó ta có $a+b=ME+MF\geq EF\geq PQ$ hay $a+b\geq \sqrt{2}$.
Nhận thấy $\frac{1}{3}\left( a-2b \right)^{2} =\left( a^{2} +2b^{2} \right)-\left( \frac{2}{3}a^{2} +\frac{4}{3}ab+\frac{2}{3}b^{2} \right)=\left( a^{2} +2b^{2} \right)-\frac{2}{3}\left( a+b \right)^{2}$
Do đó ta có $\frac{1}{3}\left( a-2b \right)^{2} \geq 0\Leftrightarrow a^{2} +2b^{2} \geq \frac{2}{3}\left( a+b \right)^{2}$ hay $a^{2} +2b^{2} \geq \frac{4}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $a^{2} +2b^{2}$ bằng $\frac{4}{3}$ đạt được khi dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} M\in EF \\ EF≡PQ \\ a=2b \\ \end{array} \end{array} \right.$ hay $\overset\rightarrow { MP }=-2\overset\rightarrow { MQ }$ hay $M\left( \frac{2}{3},0,\frac{1}{3} \right)$.
Với $P\in \Delta$ và $Q\in \Delta '$ có $P\left( 0,0,1 \right)$ và $Q\left( 1,0,0 \right)$. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$
Khi đó ta có $a+b=ME+MF\geq EF\geq PQ$ hay $a+b\geq \sqrt{2}$.
Nhận thấy $\frac{1}{3}\left( a-2b \right)^{2} =\left( a^{2} +2b^{2} \right)-\left( \frac{2}{3}a^{2} +\frac{4}{3}ab+\frac{2}{3}b^{2} \right)=\left( a^{2} +2b^{2} \right)-\frac{2}{3}\left( a+b \right)^{2}$
Do đó ta có $\frac{1}{3}\left( a-2b \right)^{2} \geq 0\Leftrightarrow a^{2} +2b^{2} \geq \frac{2}{3}\left( a+b \right)^{2}$ hay $a^{2} +2b^{2} \geq \frac{4}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $a^{2} +2b^{2}$ bằng $\frac{4}{3}$ đạt được khi dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} M\in EF \\ EF≡PQ \\ a=2b \\ \end{array} \end{array} \right.$ hay $\overset\rightarrow { MP }=-2\overset\rightarrow { MQ }$ hay $M\left( \frac{2}{3},0,\frac{1}{3} \right)$.