Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 45

Gọi $\overset\rightarrow { u }=\left( a;b;c \right),\,a^{2} +b^{2} +c^{2} >0$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$.
Mặt phẳng $\left( P \right):\,x+2y=0$ có một vecto pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;2;0 \right)$.
$\Delta$ song song với $\left( P \right)$ nên $\overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow a+2b=0\Leftrightarrow a=-2b.\Rightarrow \overset\rightarrow { u }=\left( -2b;b;c \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( -2;-1;1 \right),\left[ \overset\rightarrow { u },\overset\rightarrow { AB } \right]=\left( b+c;2b-2c;4b \right)$.
Khoảng cách từ $B\left( -1;0;2 \right)$ đến $\Delta$ là $d\left( B,\,\,\Delta \right)=\frac{\left | { \left[ \overset\rightarrow { u },\overset\rightarrow { AB } \right] } \right |}{\left| \overset\rightarrow { u} \right| }=\sqrt{\frac{21b^{2} -6bc+5c^{2}}{5b^{2} +c^{2} } }$.
Nếu $c=0\Rightarrow b\neq 0\Rightarrow d\left( B,\,\,\Delta \right)=\sqrt{\frac{21}{5} }.$
Nếu $c\neq 0\Rightarrow d\left( B,\,\,\Delta \right)=\sqrt{\frac{21\left( \frac { b}{c} \right)^{2} -6\frac{b}{c}+5 } { 5\left( \frac{b}{c} \right)^{2} +1 } }$, đặt $t=\frac{b}{c}\Rightarrow d\left( B,\,\,\Delta \right)=\sqrt{\frac{21t^{2} -6t+5}{5t^{2} +1 } }$.
Xét $f\left( t \right)=\frac{21t^{2} -6t+5}{5t^{2} +1 },\,\,f'\left( t \right)=\frac{30t^{2} -8t-6}{\left( 5t^{2} +1 \right)^{2} }$.
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ t=-\frac{1}{3} \\ t=\frac{3}{5} \right.$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của $f\left( t \right)$ bằng $\frac{16}{5}$ khi $t=\frac{3}{5}.$
$\Rightarrow \left ( { d\left( B,\,\,\Delta \right) } \right )_{min}=\frac{4}{\sqrt{5} }$ khi $t=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{3}{5}.$
Chọn $b=-3,\,c=-5\Rightarrow a=6.$ Vậy $\Delta$ nhận vecto $\overset\rightarrow { u }=\left( 6;-3;-5 \right)$ làm vecto chỉ phương