Bài tập nâng cao · Bài 46
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 46
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-2}$ và tạo với trục $Oy$ góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có VTCP của đường thẳng $d$ là $\overset\rightarrow { u }_{d}=(1;-1;-2)$ và VTCP của trục $Oy$ là $\overset\rightarrow { j }=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $d$ và $Oy$, ta có $\cos \alpha =\frac{\left| \overset\rightarrow { u }_{d}.\overset\rightarrow { j } \right|}{\left| \overset\rightarrow { u}_{d}\right|\left| \overset\rightarrow { j } \right| }=\frac{1}{\sqrt{6} }\neq 0$ với
Gọi $\beta$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và $Oy$, do $(P)$ chứa $d$ nên ta có $\beta \leq \alpha$. Dấu bằng xảy ra khi mặt phẳng $(P)$ tạo với $Oy$ một góc $\beta$ thỏa mãn $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{6} }$.
$(P)$ chứa $d$ nên $(P)$ có dạng $m(x+y+1)+n(2x+z-2)=0,\,\,m^{2} +n^{2} >0$
$\Leftrightarrow (m+2n)x+my+nz+m-2n=0,\,\,m^{2} +n^{2} >0$
$\sin \beta =\frac{\left| m \right|}{\sqrt{(m+2n)^{2} +m^{2} +n^{2} } }=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} }\Rightarrow 4m^{2} +20mn+25n^{2} =0\Leftrightarrow 2m+5n=0$.
Chọn $m=5,\,\,n=-2$ suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$:$x+5y-2z+9=0.$
Vậy điểm $N(-1;-2;-1)\in (P)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $d$ và $Oy$, ta có $\cos \alpha =\frac{\left| \overset\rightarrow { u }_{d}.\overset\rightarrow { j } \right|}{\left| \overset\rightarrow { u}_{d}\right|\left| \overset\rightarrow { j } \right| }=\frac{1}{\sqrt{6} }\neq 0$ với
Gọi $\beta$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và $Oy$, do $(P)$ chứa $d$ nên ta có $\beta \leq \alpha$. Dấu bằng xảy ra khi mặt phẳng $(P)$ tạo với $Oy$ một góc $\beta$ thỏa mãn $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{6} }$.
$(P)$ chứa $d$ nên $(P)$ có dạng $m(x+y+1)+n(2x+z-2)=0,\,\,m^{2} +n^{2} >0$
$\Leftrightarrow (m+2n)x+my+nz+m-2n=0,\,\,m^{2} +n^{2} >0$
$\sin \beta =\frac{\left| m \right|}{\sqrt{(m+2n)^{2} +m^{2} +n^{2} } }=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} }\Rightarrow 4m^{2} +20mn+25n^{2} =0\Leftrightarrow 2m+5n=0$.
Chọn $m=5,\,\,n=-2$ suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$:$x+5y-2z+9=0.$
Vậy điểm $N(-1;-2;-1)\in (P)$.