Bài tập nâng cao · Bài 47
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 47
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\left( d_{1}\right):\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{2},\left( d_{2}\right):\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}$ và điểm $A(4;1;2)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$ cắt $d_{1}$ và cách $d_{2}$ một khoảng lớn nhất. Lấy $u=(a;1;c)$ là một véctơ chỉ phương của $\Delta$. Độ dài của $u$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $d_{2}$, khi đó $\Delta$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và nhận $\overset\rightarrow { AH }$ là véctơ pháp tuyến.
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A$ và $\left( d_{1}\right)$. Khi đó $\Delta =(P)∩(Q)\Rightarrow u_{ \Delta } =\left[ n_{P},n_{Q}\right]$.
Giả sử $H(1+t;-3+2t;1+3t)\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=(t-3;2t-4;3t-1)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AH }\perp u_{ d_{2}} ,u_{ d_{2}} =(1;2;3)\Rightarrow t-3+4t-8+9t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=(-2;-2;2)\Rightarrow n_{P}=(1;1;-1)$.
Lấy $N(-1;1;-2)\in \left( d_{1}\right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AN }=(-5;0;-4)\Rightarrow n_{Q}=\left[ u_{ d_{1}} ,\overset\rightarrow { AN } \right]=(4;-2;-5)$.
Suy ra $u_{ \Delta } =\left[ n_{P},n_{Q}\right]=(-7;1;-6)\Rightarrow \mid u\mid =\sqrt{86}$.
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A$ và $\left( d_{1}\right)$. Khi đó $\Delta =(P)∩(Q)\Rightarrow u_{ \Delta } =\left[ n_{P},n_{Q}\right]$.
Giả sử $H(1+t;-3+2t;1+3t)\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=(t-3;2t-4;3t-1)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AH }\perp u_{ d_{2}} ,u_{ d_{2}} =(1;2;3)\Rightarrow t-3+4t-8+9t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=(-2;-2;2)\Rightarrow n_{P}=(1;1;-1)$.
Lấy $N(-1;1;-2)\in \left( d_{1}\right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AN }=(-5;0;-4)\Rightarrow n_{Q}=\left[ u_{ d_{1}} ,\overset\rightarrow { AN } \right]=(4;-2;-5)$.
Suy ra $u_{ \Delta } =\left[ n_{P},n_{Q}\right]=(-7;1;-6)\Rightarrow \mid u\mid =\sqrt{86}$.