Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Hàm số liên tục · Bài 2
Tìm a để hàm số liên tục tại điểm $x_0$.
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x^{2}-4} \text{ khi } x\neq 2 \\ a \text{ khi } x=2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1} \text{ khi } x<1 \\ a+\frac{4-x}{x+2} \text{ khi } x\geq 1 \end{array} \right.$ Tại $x_0=1$
c. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+\frac{2}{3} \text{ khi } x\leq 2 \\ \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x^{2}-3x+2} \text{ khi } x>2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
d. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax+\frac{1}{4} \text{ khi } x\leq 2 \\ \frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2} \text{ khi } x>2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x^{2}-4} \text{ khi } x\neq 2 \\ a \text{ khi } x=2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1} \text{ khi } x<1 \\ a+\frac{4-x}{x+2} \text{ khi } x\geq 1 \end{array} \right.$ Tại $x_0=1$
c. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+\frac{2}{3} \text{ khi } x\leq 2 \\ \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x^{2}-3x+2} \text{ khi } x>2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
d. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax+\frac{1}{4} \text{ khi } x\leq 2 \\ \frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2} \text{ khi } x>2 \end{array} \right.$ Tại $x_0=2$
Xem lời giải
Lời giải
a. $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^{2}-4}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{\left( \sqrt{x+2}+2 \right)\left( x^{2}-4 \right)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{\left( \sqrt{x+2}+2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{16}$.
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f\left( 2 \right)=a\Leftrightarrow a=\frac{1}{16}$
b. $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1}=+\infty$
Như vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số liên tục tại $x_0=1$
c. Có $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( ax^{2}+\frac{2}{3} \right)=4a+\frac{2}{3}$.
$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\left( \sqrt[3]{4x}-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)}{\left( x^{2}-3x+2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)} \\ =\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{4x-8}{\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{4}{\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{3} \end{array}$
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4a+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=-\frac{1}{12}$.
d. $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( ax+\frac{1}{4} \right)=2a+\frac{1}{4}$
$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\left( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)} \\ =\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{3x-6}{\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)\left( x-2 \right)}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{3}{\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}=\frac{1}{4} \end{array}$
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2a+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=0$.
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f\left( 2 \right)=a\Leftrightarrow a=\frac{1}{16}$
b. $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1}=+\infty$
Như vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số liên tục tại $x_0=1$
c. Có $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( ax^{2}+\frac{2}{3} \right)=4a+\frac{2}{3}$.
$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\left( \sqrt[3]{4x}-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)}{\left( x^{2}-3x+2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)} \\ =\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{4x-8}{\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{4}{\left( \sqrt[3]{\left( 4x \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{3} \end{array}$
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4a+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=-\frac{1}{12}$.
d. $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( ax+\frac{1}{4} \right)=2a+\frac{1}{4}$
$\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{\left( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)} \\ =\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{3x-6}{\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)\left( x-2 \right)}=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{3}{\left( \sqrt[3]{\left( 3x+2 \right)^{2}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}=\frac{1}{4} \end{array}$
Để hàm số liên tục tại $x_0=2$ thì $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2a+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=0$.